Question

Calcule os limites:

lim x -- 0 x - senx/ x³ =
( limite de x tendendo a zero da função x menos seno de x sobre x ao cubo)

Answer 1

Olá

O limite que calcularemos é $\lim_{x \to 0} \frac{x-sen(x)}{x^3}$

Perceba que quando substituímos o x por 0 chegamos a uma indeterminação $\frac{0}{0}$

Então, para tirarmos essa indeterminação, utilizaremos L'Hopital.

Para isso, precisamos derivar o numerador e o denominador até acabar a  indeterminação.

Então, derivando temos que:

$\frac{1-cos(x)}{3x^2}$

Ainda tem indeterminação. Então, derivando novamente:

$\frac{sen(x)}{6x}$

Ainda tem indeterminação. Então, derivando novamente:

$\frac{cos(x)}{6}$

Não temos indeterminação.

Logo, 

$\lim_{x \to 0} \frac{x-sen(x)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{cos(x)}{6} = \frac{cos(0)}{6} = \frac{1}{6}$