Question

Calcule os limites :

lim 9-t/3-√t
quando t-9

lim√x+2-3/x-7
quando x-7

Answer 1

Resolução da questão, vejamos:

Vamos resolver esses dois limites através da mudança de variável, vejamos:

1º limite:

Neste limite vamos fazer a mudança da variável ''t'' por ''u²'', vejamos:

$\mathsf{\displaystyle\lim_{t~\to~9}~\dfrac{9-t}{3-\sqrt{t}}}}~~\textbf{Fazendo~a~mudan\c{c}a~de~vari\'avel,~teremos:}}}\\\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\lim_{u~\to~3}~\dfrac{9-u^{2}}{3-\sqrt{u^{2}}}}\\\\\\\\ \mathsf{\dfrac{-u^{2}+9}{3-|u|}}}\\\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\lim_{u~\to~3}~\dfrac{-u^{2}+9}{-u+3}}}}\\\\\\\\ \mathsf{\dfrac{(-u+3)~\cdot~(u+3)}{-u+3}}}}\\\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\lim_{u~\to~3}~u+3}}}}\\\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\lim_{u~\to~3}=3+3}}}}\\\\\\\\\ \Large{\boxed{\boxed{\mathbf{\displaystyle\lim_{t~\to~9}~\dfrac{9-t}{3-\sqrt{t}} =\mathbf{6.}}}}}}}}}}}}}}}}}}~~\checkmark}}}}$

Ou seja, esse primeiro limite é igual a 6.

Vamos para o segundo limite.

Também resolveremos pela mudança de variável, observe:

Mudaremos a variável ''x'' por ''-2 + u²'':

$\mathsf{\displaystyle\lim_{x~\to~7}~\dfrac{\sqrt{x+2}-3}{x-7}}}}}~~\textbf{Fazendo~a~mudan\c{c}a~de~vari\'avel,~teremos:}}}\\\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\lim_{u~\to~3}~\dfrac{\sqrt{-2+u^{2}+2}-3}{-2+u^{2}-7}}}}\\\\\\\\ \mathsf{\dfrac{-3+\sqrt{u^{2}}}{u^{2}-9}}}\\\\\\\\ \mathsf{\dfrac{|u|-3}{u^{2}-9}}}~~\textbf{Fatorando~o~denonimador,~teremos:}}\\\\\\\\\ \mathsf{\dfrac{u-3}{(u-3)~\cdot~(u+3)}}}\\\\\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\lim_{u~\to~3}~\dfrac{1}{u+3}}}}\\\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\lim_{u~\to~3}=\dfrac{1}{3+3}}}\\\\\\\\\ \Large{\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathbf{~\therefore~\displaystyle\lim_{x~\to~7}~\dfrac{\sqrt{x+2}-3}{x-7}}=\mathbf{\dfrac{1}{6}}}}}}}}}}}}}}~~\checkmark}}$

Ou seja, o valor deste segundo limite é 1/16.

Qualquer dúvida é só chamar nos comentários.

Espero que te ajude e passar bem.