Question

calcule os limites laterais de f(x)= 1-cosx/ |x|x lim de f(x) quando x tende a 0 resposta com justificativa. com urgencia

Answer 1

Temos o seguinte função para calcular o limite:

$f(x) = \frac{1 - \cos(x)}{ |x| \: . \: x} \to \lim_{x \to 0} f(x)$

Não é simplesmente o limite que devemos calcular, mas sim o limite lateral. Como sabemos o limite bilateral só existe se os limites laterais foram iguais, então:

$\lim_{x \to 0 {}^{ + } } \frac{1 - \cos(x)}{ |x| \: . \: x } = \lim_{x \to 0 {}^{ - } } \frac{1 - \cos(x)}{ |x| \: . \: x}$

Primeiro vamos lembrar da definição de módulo, pois devemos aplicá-la no denominador:

$|x| = \begin{cases}x \: \: se \: \: x \geqslant 0 \\ - x \: \: se \: x < 0 \end{cases}$

O limite quando x tende a 0 pela direita, significa que x se aproxima de 0 por valores maiores que ele, então devemos usar a primeira função. Já quando x tende a 0 pela esquerda, significa que x se aproxima de 0 por valores menores que ele, então devemos usar a segunda função. Substituindo essas informações:

$\lim_{x \to 0 {}^{ + } } \frac{1 - \cos(x)}{ x\: . \: x } = \lim_{x \to 0 {}^{ - } } \frac{1 - \cos(x)}{ - x \: . \: x} \\ \\ \lim_{x \to 0 {}^{ + } } \frac{1 - \cos(x)}{ x {}^{2} } = \lim_{x \to 0 {}^{ - } } \frac{1 - \cos(x)}{ - x {}^{2} } \\ \\ \lim_{x \to 0 {}^{ + } } \frac{1}{x} . \frac{1 - \cos(x)}{x} = \lim_{x \to 0 {}^{ - } } \frac{1}{ - x} . \frac{1 - \cos(x)}{x}$

O limite de uma multiplicação é igual a multiplicação dos limites:

$\boxed{\lim_{x \to a} f(x).g(x) \longrightarrow \lim_{x \to a} f(x).\lim_{x \to a} g(x)}$

Aplicando essa informação:

$\lim_{x \to 0 {}^{ + } } \frac{1}{x} \: . \: \lim_{x \to 0 {}^{ + } } \frac{1 - \cos(x)}{x} = \lim_{x \to 0 {}^{ - } } \frac{1}{ - x} \: . \: \lim_{x \to 0 {}^{ - } } \frac{1 - \cos(x)}{x}$

O seguinte limite, já possui um valor conhecido:

$\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{ 1 - \cos(x)}{x} = 0}$

Substituindo essa informação:

$\lim_{x \to 0 {}^{ + } } \frac{1}{x } \: . \: 0 = \lim_{x \to 0 {}^{ - } } \frac{1}{ - x} \: . \: 0$

Quando substituirmos os valores a qual o "x" tende, vamos ter um infinito e menos infinito:

$\infty .0 = - \infty .0 \\ 0 = 0$

Portanto podemos concluir que:

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{ |x| \: . \: x} \sf \to existe, \: j\acute{a} \: que : \\ \\ \lim_{x \to 0 {}^{ + } } \frac{1 - \cos(x)}{ |x| \: . \: x } = \lim_{x \to 0 {}^{ - } } \frac{1 - \cos(x)}{ |x| \: . \: x}$

Espero ter ajudado