Question

Calcule os limites das funções abaixo:

[tex]\lim_{h \to \inft0} \frac{(x+h)^{2} -x^{2} }{h}

Answer 1

Para o primeiro limite, expandimos o quadrado do binómio e simplificamos:

$\dfrac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \dfrac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \dfrac{2xh + h^2}{h} = 2x + h,$

sendo a última igualdade válida para $h \neq 0$. Tomando então o limite quando $h \to 0$, vem:

$\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim\limits_{h \to 0} (2x + h) = 2x + 0 = 2x.$

Este limite mostra então que a derivada de $x^2$ é $2x$:

$(x^2)' = \lim\limits_{h \to 0}\dfrac{(x+h)^2 - x^2}{h} = 2x.$

Para o segundo limite, metemos $2x$ em evidência no numerador e $10x^3$ em evidência no denominador:

$\dfrac{5 + 2x}{3 + 10x^3} = \dfrac{2x\left(1 + \frac{1}{5x}\right)}{10x^3\left(1 + \frac{3}{10x^3}\right)} = \dfrac{1 + \frac{1}{5x}}{5x^2\left(1 + \frac{3}{10x^3}\right)},$

sendo esta simplificação válida para $x \neq 0$. Tomando agora o limite quando $x \to 0$, vem:

$\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{5 + 2x}{3 + 10x^3} = \lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{1 + \frac{1}{5x}}{5x^2\left(1 + \frac{3}{10x^3}\right)} = \dfrac{1 + 0}{5 \times \infty\times (1 + 0)} = \dfrac{1}{\infty} = 0.$

O limite é zero uma vez que o polinómio em numerador, que é do 1.º grau, cresce mais lentamente do que o polinómio em denominador, que é do 3.º grau.