Cálcule os limites abaixo:
Soluções para a tarefa
Resposta:
1) -infinito
2) 2/3
3) e^3
Explicação passo-a-passo:
a) temos:
lim (x-3)/(x^2 -6x +9)
x->3-
lim (x-3)/[(x - 3)^2]
x->3-
lim 1/(x - 3)
x->3-
Podemos ver que, quando x tende a 3 pelo lado esquerdo (x<3):
x 2,8 2,9 2,99 2,999 2,9999...
lim -5 -10 -100 -1000 -10000...
Pode-se ver que o limite tende a -infinito
Logo:
lim (x-3)/(x^2 -6x +9) = -infinito
x->3-
b) temos:
lim [1-cos(2t)]/[t.sen(3t)]
t->0
lim [1 - (cos^2(t) - sen^2(t)]/[t.sen(3t)]
t->0
lim [1 - cos^2(t) + sen^2(t)]/[t.sen(3t)]
t->0
lim [sen^2(t) + cos^2(t) - cos^2(t) + sen^2(t)]/[t.sen(3t)]
t->0
lim 2.sen^2(t)/[t.sen(3t)]
t->0
lim 2.sen^2(t)/[t.(sen(2t).cos(t) + sen(t).cos(2t))]
t->0
2.lim sen^2(t)/[t.(2.sen(t).cos(t).cos(t) + sen(t).(cos^2(t)-sen^2(t)))]
t->0
2.lim sen^2(t)/[t.(2.sen(t).cos^2(t) + sen(t).cos^2(t) - sen^3(t))]
t->0
2.lim sen^2(t)/[t.sen(t).(2.cos^2(t) + cos^2(t) - sen^2(t))]
t->0
2.lim sen^2(t)/[t.sen(t).(3.cos^2(t) - sen^2(t))]
t->0
2.lim sen(t)/[t.(3.cos^2(t) - sen^2(t))]
t->0
2.lim sen(t)/t . 1/(3.cos^2(t) - sen^2(t))
t->0
2.lim sen(t)/t . lim 1/(3.cos^2(t) -
t->0. t->0. sen^2(t))
Como lim sen(t)/t = 1, temos:
t->0
2.1 . 1/(3.1^2 - 0^2)
2.1/(3 - 0)
2/3
Logo, lim [1-cos(2t)]/[t.sen(3t)] = 2/3
t->0
c) temos:
lim ((3+x)/x)^(x+2)
x->+inf.
lim (3/x + 1)^(x+2)
x->+inf.
lim (1 + 3/x)^(x+2)
x->+inf.
lim (1 + 3/x)^x . (1 + 3/x)^2
x->+inf.
lim (1 + 3/x)^x . lim (1 + 3/x)^2
x->+inf. x-> +inf.
lim (1 + 3/x)^x . 1
x->+inf.
Fazendo 3/x = 1/w, então:
w= x/3 (logo, como x->+inf, w->+inf)
lim (1 + 1/w)^3w
w->+inf.
lim {(1 + 1/w)^w}^3
w->+inf.
{lim (1 + 1/w)^w}^3
w->+inf.
Como lim (1 + 1/w)^w = e, temos:
w->+inf.
e^3
Logo:
lim ((3+x)/x)^(x+2) = e^3
x->+inf.
Blz?
Abs :)