Question

Calcule os comprimentos das medianas de um triângulo de vértices A(2, -6), B(-4, 2) e C(0, 4). ( Amedianade um triângulo é o segmento de reta que tem como extremidades um vértice e o ponto médio dolado oposto). Observe a imagem: M1 representa o ponto médio do segmento AB; M2 representa o pontomédio do segmento AC; M3 representa o ponto médio do segmento BC. O segmento AM3 representa umamediana, o segmento BM2 a segunda mediana e o segmento CM1 a terceira mediana. Obs: para calcular ovalor da mediana você precisa calcular a d(A,M3), d(B,M2) e d(C,M1). Para fazer isso você vai precisar dascoordenadas dos pontos médios M1, M2 e M3.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

• Mediana $\sf AM_{3}$

$\sf \Rightarrow~coordenadas~do~ponto~M_3$

$\sf x_{M_{3}}=\dfrac{x_B+x_C}{2}$

$\sf x_{M_{3}}=\dfrac{-4+0}{2}$

$\sf x_{M_{3}}=\dfrac{-4}{2}$

$\sf x_{M_{3}}=-2$

$\sf y_{M_{3}}=\dfrac{y_B+y_C}{2}$

$\sf y_{M_{3}}=\dfrac{2+4}{2}$

$\sf y_{M_{3}}=\dfrac{6}{2}$

$\sf y_{M_{3}}=3$

Assim, $\sf M_{3}(-2,3)$

O comprimento da mediana $\sf AM_{3}$ é:

$\sf \overline{AM_{3}}=\sqrt{(x_{A}-x_{M_{3}})^2+(y_{A}-y_{M_{3}})^2}$

$\sf \overline{AM_{3}}=\sqrt{(2+2)^2+(-6-3)^2}$

$\sf \overline{AM_{3}}=\sqrt{4^2+(-9)^2}$

$\sf \overline{AM_{3}}=\sqrt{16+81}$

$\sf \red{\overline{AM_{3}}=\sqrt{97}}$

• Mediana $\sf BM_{2}$

$\sf \Rightarrow~coordenadas~do~ponto~M_2$

$\sf x_{M_{2}}=\dfrac{x_A+x_C}{2}$

$\sf x_{M_{2}}=\dfrac{2+0}{2}$

$\sf x_{M_{2}}=\dfrac{2}{2}$

$\sf x_{M_{2}}=1$

$\sf y_{M_{2}}=\dfrac{y_A+y_C}{2}$

$\sf y_{M_{2}}=\dfrac{-6+4}{2}$

$\sf y_{M_{2}}=\dfrac{-2}{2}$

$\sf y_{M_{2}}=-1$

Assim, $\sf M_{2}(1,-1)$

O comprimento da mediana $\sf BM_{2}$ é:

$\sf \overline{BM_{2}}=\sqrt{(x_{B}-x_{M_{2}})^2+(y_{B}-y_{M_{2}})^2}$

$\sf \overline{BM_{2}}=\sqrt{(-4-1))^2+(2+1)^2}$

$\sf \overline{BM_{2}}=\sqrt{(-5)^2+3^2}$

$\sf \overline{BM_{2}}=\sqrt{25+9}$

$\sf \red{\overline{BM_{2}}=\sqrt{34}}$

• Mediana $\sf CM_{1}$

$\sf \Rightarrow~coordenadas~do~ponto~M_1$

$\sf x_{M_{1}}=\dfrac{x_A+x_B}{2}$

$\sf x_{M_{1}}=\dfrac{2-4}{2}$

$\sf x_{M_{1}}=\dfrac{-2}{2}$

$\sf x_{M_{1}}=-1$

$\sf y_{M_{1}}=\dfrac{y_A+y_B}{2}$

$\sf y_{M_{1}}=\dfrac{-6+2}{2}$

$\sf y_{M_{1}}=\dfrac{-4}{2}$

$\sf y_{M_{1}}=-2$

Assim, $\sf M_{1}(-1,-2)$

O comprimento da mediana $\sf CM_{1}$ é:

$\sf \overline{CM_{1}}=\sqrt{(x_{C}-x_{M_{1}})^2+(y_{C}-y_{M_{1}})^2}$

$\sf \overline{CM_{1}}=\sqrt{(0+1)^2+(4+2)^2}$

$\sf \overline{CM_{1}}=\sqrt{1^2+6^2}$

$\sf \overline{CM_{1}}=\sqrt{1+36}$

$\sf \red{\overline{CM_{1}}=\sqrt{37}}$