Question

Calcule o volume do tetraedro ABCD, sendo A = (−1, 3, 2), B =
(0, 1, −1), C = (−2, 0, 1) e D = (1, −2, 0). Em seguida, calcule a altura relativa
à base ABC.

Answer 1

Resposta:

O volume do tetraedro é $4 \ u.v.$ e a altura relativa à base ABC mede $\dfrac{4\sqrt{10}}{5} \ u.c.$

Explicação passo a passo:

Considere o tetraedro ABCD de base ABC e vértice D e altura DH da figura abaixo.

Sabendo que o volume do tetraedro (por geometria analítica) é dado pela sexta parte do produto misto dos vetores AD, AB e AC temos:

$V_{tetraedro}=\dfrac{1}{6}\cdot |AD\cdot (AB\times AC)|$

Calculando os vetores obtemos:

AD = D - A = (2,-5,-2)

AB = B - A = (1,-2,-3)

AC = C - A = (-1,-3,-1)

$V_{tetraedro}=\dfrac{\begin{vmatrix}2&-5&-2\\1&-2&-3\\-1&-3&-1\end{vmatrix}}{6}\\\\V_{tetraedro}=\dfrac{|4-15+6+4-18-5|}{6}\\\\V_{tetraedro}=4 \ u.v.$

Da geometria métrica espacial temos que:

$V_{tetraedro}=\dfrac{1}{3}A_B\cdot h$

$4=\dfrac{1}{3}\cdot |AB\times AC| \cdot h$

Calculando o módulo do produto vetorial AB X AC:

$AB\times AC=\begin{vmatrix}i&j&k\\1&-2&-3\\-1&-3&-1\end{vmatrix}\\\\=2i+3j-3k-2k-9i+j\\\\=-7i+4j-5k\\\\=(-7,4,-5)\\\\|AB \times AC|=\sqrt{(-7)^2+4^2+(-5)^2}\\\\=3\sqrt{10}$

Como o módulo do produto vetorial é numericamente igual a área do paralelogramo temos que a área do triângulo ABC da base vale:

$A_B=\dfrac{3\sqrt{10}}{2} \ u.a.$

Substituindo para encontrar a altura temos:

$4=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{3\sqrt{10}}{2}\cdot h\\\\h=\dfrac{4\sqrt{10}}{5} \ u.c.$