Question

Calcule o volume do sólido sob o plano z = 3, acima do plano z = y e entre os cilindros parabólicos y = x² e y = 1 - x².

R:$\frac{5\sqrt{2} }{3}$

Answer 1

Primeiro é bom fazer um esboço do sólido. Pode ser um pouco dificil fazer um desenho tridimensional, então a gente tenta retirar o máximo de informação antes. Pra isso vamos pensar no plano xy como o "chão" e o eixo z como a altura.

Observe que as equações y = x² e y = 1-x² não possuem a variavel z. Isso quer dizer que essas superficies são 'verticais'. Por exemplo, x²+y²=1 também não tem a letra z e representa um cilindro vertical. Ou seja, é como se fosse um muro em forma circular. O mesmo acontece com y=x². Dentro do plano xy é uma parabola, mas no espaço R³ vai ser como um muro em forma de parabola. Similarmente com y = 1-x². Por isso são chamadas de cilindros parabólicos.

As parábolas y = x² e y = 1-x² se encontram (uma esta voltada pra cima e outra pra baixo) delimitando uma região em forma de 'olho' . Isso seriam as paredes do seu sólido. Além disso, seu sólido esta entre os planos z = y e z=3. Não importa muito como os planos estão posicionados, só precisamos entender que z=y é o limite inferior e z = 3 é o superior. Com isso da pra ter uma noção de como o sólido é.

Após ter uma noção de como a figura é, precisamos escolher as coordenadas convenientes (cilindricas, esfericas, cartesianas, ou outra) e fazer as contas. Nesse caso ẽsfericas está fora de cogitação, cilindricas poderia ser viável mas não muito recomendado já que é dificil descrever as parábolas. Então vamos fazer em coordenadas cartesianas.

Assim, a altura z do sólido está delimitada pelos planos z = y e z = 3, ou seja, y < z < 3. Além disso, os valores x,y devem estar contidos na região delimitada pelas parábolas y = x² e y = 1-x². Ou seja (vou omitir como obtive os valores, faça um esboço para conferir):

1-x² <  y < x²

-(√2) / 2 <  x < (√2)/2

Daí é só armar a integral e resolver:

$\displaystyle V = \int_{- \sqrt 2 / 2}^{\sqrt 2/2} \int_{x^2}^{1-x^2} \int_{y}^3 1 \,dzdydx \implies \\[3ex]V = \int_{- \sqrt 2 / 2}^{\sqrt 2/2} \int_{x^2}^{1-x^2} 3-y \,dydx \implies \\[3ex]V = \int_{- \sqrt 2 / 2}^{\sqrt 2/2} 3(1-2x^2)-\dfrac{1-2x^2}{2} \,dx \implies \\[3ex]V = \int_{- \sqrt 2 / 2}^{\sqrt 2/2} \dfrac 52 - 5 x^2 \,dx = \dfrac{5 \sqrt 2}{2} - \dfrac 53 \left( \dfrac {\sqrt 2}{4} + \dfrac{\sqrt 2}{4} \right) = \dfrac{5 \sqrt 2}{3}$

Resposta: (5√2) / 3