Question

calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y do conjunto de todos os (x,y)tais que 0 <=x <=8 é 0 <=y <= a raiz cúbica de x

Answer 1

Olá Celia, tudo bem?

A questão é de sólidos de revolução. Esses sólidos possuem diversos métodos de cálculo. Para este caso faremos o método das cascas cilíndricas. Imaginemos uma pequena casca de espessura dx e altura f(x) e calcula o volume dessa casca e integra-se no eixo x. Que possui a seguinte fórmula:

$V =2 \pi \int \limits^a_b {x.f(x)} \, dx$

Como $f(x) = \sqrt[3]{x}$  e x varia de 0 a 8, temos:
$V = 2 \pi \int \limits^8_0 {x. \sqrt[3]{x} \, dx$

Pela tabela de integrais, temos que a integral será:
$V = 2 \pi . [(3/7) . x^{7/3}]$ com $0 \leq x \leq 8$, logo:

$V = 2 \pi [(3/7) . 8^{7/3}]$
$V = 2 \pi [(3/7).128]$

Portanto:

$V = 344.68$

Espero ter ajudado. Bons estudos