Question

calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelo eixo x e pelo gráfico da função y= 2x^2 - 3x em torno do eixo x.

Answer 1

Resposta:

V= (81/8).pi

Explicação passo-a-passo:

Temos que:

y= 2x^2 - 3x

Buscando as raízes equação, temos:

2x^2 - 3x = 0

x.(2x - 3) = 0

x=0 ou x=3/2

Logo, existe um pedaço da parábola cortada pelo eixo x, no intervalo 0 <= x <= 3/2

Rotacionando essa figura ao redor do eixo do x, e cortando dessa uma fatia de espessura dx, como o raio dessa fatia é igual a y, temos que o volume dV dessa fatia é dado por:

dV = (y^2).pi.dx

Logo, o volume do sólido requerido pelo problema é dado por:

V= integral(0 a 3/2) de (y^2).pi.dx

V= integral(0 a 3/2) de ((2x^2 - 3x)^2).pi.dx

V= integral(0 a 3/2) de (4x^4 - 2.(2x^2).3x + 9x^2).pi.dx

V= integral(0 a 3/2) de (4x^4 - 12x^3 + 9x^2).pi.dx

V= [ (4.x^5)/5 - (12.x^4)/4 + (9.x^3)/3 ] . pi (0 a 3/2)

V= [ (4.x^5)/5 - 3.x^4 + 3.x^3 ].pi (0 a 3/2)

V= [ (4.(3/2)^5)/5 - 3.(3/2)^4 + 3.(3/2)^3 ].pi

V= [ (4.(3^5)/(2^6) - (3^5)/(2^4) + (3^4)/(2^3) ].pi

V= [ 972/64 - 243/16 + 81/8 ].pi

V= [ (972 - 972 + 648)/64 ].pi

V= [ (648)/64 ].pi

V= (81/8).pi

Blz?

Abs :)