Question

Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo dos X ,x=0 e x=1   y = 3x² + 1 

Answer 1

o volume do solido gerado pela toração em torno do eixo x vai ser dado por 
$\boxed{ \pi * \int\limits^a_b {[f(x)]}^2 \, dx }$

aplicando no problema
$\pi * \int\limits^1_0 {(3x^2+1)^2} \, dx$

resolvendo esse produto notavel
$(3x^2+1)^2\\\\=(3x^2)^2+[2*3x^2*1]+1^2\\\\=9x^4+6x^2+1$

agora temos 
$\boxed{\pi * \int\limits^1_0 {9x^4+6x^2+1} \, dx}$

resolvendo a integral
$\int\limits {9x^4+6x^2+1} \, dx\\\\\\= 9*\frac{x^{4+1}}{4+1}} +6* \frac{x^{2+1}}{2+1}} +1x\\\\= \frac{9x^5}{5} +2x^3+x\\\\=\boxed{ \frac{9x^5+10x^3+5x}{5} }$

substituindo x pelo valor do intervalo ...quando vc substituir por 0 o resultado será 0 ...então vou calcular só pro 1
$\frac{9(*1)^5+10*(1)^3+5*(1)}{5} = \frac{9+10+5}{5}= \frac{24}{5}$

a expressão ficou 
$\pi * \int\limits^1_0 {9x^4+6x^2+1} \, dx}\\\\= \pi * \frac{24}{5} \\\\\boxed{ \frac{24 \pi }{5} }$

esse é o volume