calcule o volume do sólido gerado pela rotação da superfície hachurada em torno do eixo e
me ajudem nessa Matéria por favor!!! não entendo absolutamente nada
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
a) Quando girarmos a imagem em torno do eixo e sob um ângulo de 360º grias, a nova imagem gerada será um cilindro com diâmetro 2r na base e altura 2r. Dentro desse cilindro está contida uma esfera de raio r. Assim, devemos calcular o volume do cilindro e o volume da esfera e, depois fazer a diferença entre os volumes do cilindro e da esfera. Assim, temos:
Volume do cilindro:
Área da base:
Ab = πr²
Altura h = 2r
Volume do cilindro:
Vc = Ab.h = πr².2r = 2πr³
Volume da esfera:
Ve = 4πr³/3
Volume da área hachurada Vh:
Vh = Vc - Ve
Vh = 2πr³ - 4πr³/3
Vh = (3.2πr³ - 4πr³)/3
Vh = (6πr³ - 4πr³)/3
Vh = 2πr³/3
Portanto, o volume da área hachurada é de 2πr³/3
b) Quando giramos a figura da imagem em torno do eixo e, sob um ângulo de 360º, geramos uma nova figura composta por uma esfera de raio r e dois cones com bases de diâmetro 2r e altura r. Assim o volume da superfície hachurada Vh será a diferença entre os volumes da esfera Ve e os volumes dos cones Vc = Vc₁ + Vc₂ => Vc = 2Vc₁, já que os cones são iguais.
Volume da esfera Ve:
Como o raio é r, então:
Ve = 4πr³/3
Volume do cone Vc:
Vc₁ = Vc₂ = Ab.h
Área da base Ab:
Ab = πr²
Vc₁ = πr².r/3 = πr³/3
Volume da área hachurada Vh:
Vh = Ve - 2Vc₁
Vh = 4πr³/3 - 2πr³/3
Vh = 2πr³/3
Portanto, o volume da área hachurada é de 2πr³/3