Question

Calcule o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo x, da região delimitada pelos gráficos de f(x) = raiz25-xˆ2 e g(x)=3

Answer 1

Descrevendo a região.

     f(x) = √(25 − x²)

     g(x) = 3


O gráfico de  f  é uma semicircunferência com centro na origem e raio  5,  na qual o valor de  y  é sempre maior ou igual a zero.

Veja que a lei de  f  satisfaz a equação

     x² + y² = 5²


g  é uma função constante igual a  3, cujo gráfico é uma reta horizontal.


Encontrando a interseção entre os gráficos de  f  e  g:

     f(x) = g(x)

     √(25 − x²) = 3

     25 − x² = 3²

     25 − x² = 9

     x² = 25 − 9

     x² = 16

     x = ± √16

     x = ± 4

     x = − 4    ou   x = 4


Os gráficos se cruzam nos pontos  x = − 4  e  x = 4.  Usando o método das seções transversais, esses serão os limites de integração.


Área da seção transversal:

No intervalo  − 4 ≤ x ≤ 4,  a função  f  é sempre  maior ou igual a  g. Logo, a área da seção transversal será dada por

     A(x) = π · [f(x)² − g(x)²]

     A(x) = π · [√(25 − x²)² − 3²]

     A(x) = π · [(25 − x²) − 9]

     A(x) = π · (16 − x²)


O volume do sólido gerado é dado por

     $\displaystyle V=\int_{-4}^4 A(x)\,dx\\\\\\ =\int_{-4}^4 \pi\cdot (16-x^2)\,dx\\\\\\ =\pi\cdot \bigg(16x-\frac{x^3}{3}\bigg)\bigg|_{-4}^4\\\\\\ =\pi\cdot \bigg(16\cdot 4-\frac{4^3}{3}\bigg)-\pi\cdot \bigg(16\cdot (-4)-\frac{(-4)^3}{3}\bigg)$

     $=\pi\cdot \bigg(64-\dfrac{64}{3}\bigg)-\pi\cdot \bigg((-64)-\dfrac{(-64)}{3}\bigg)\\\\\\ =\pi\cdot \bigg(64-\dfrac{64}{3}\bigg)+\pi\cdot \bigg(64-\dfrac{64}{3}\bigg)\\\\\\ =2\pi\cdot \bigg(64-\dfrac{64}{3}\bigg)\\\\\\ =2\pi\cdot \bigg(\dfrac{192}{3}-\dfrac{64}{3}\bigg)\\\\\\ =2\pi\cdot \dfrac{128}{3}$

     $=\dfrac{256\pi}{3}\mathrm{~u.v.}$    <————    esta é a resposta.


Bons estudos! :-)