Question

Calcule o volume do sólido gerado pela revolução em torno do
eixo x da função f(x)=x+1 entre 0 e 2

A) 5π

B) 11/3π

C) 8/3π

D) 26/3π

Answer 1

Usando a integral

$V= \int\limits^2_0 \pi ({x+1})^2 \, dx \\ V= \frac{ \pi (2+1)^3}{3} - \frac{ \pi (0+1)^3}{3} \\ V= \pi (9- \frac{1}{3} ) \\ V= \frac{26 \pi }{3}$

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o volume procurado do sólido de revolução é:

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf V = \frac{26\pi}{3}\,u.\,v.\:\:\:}}\end{gathered} }$    

Portanto, a opção correta é:

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Alternativa\:D\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                 $\Large\begin{cases} f(x) = x + 1\\I = \left[0,\,2\right]\end{cases}$

Se o sólido é de revolução, então podemos girá-lo sobre um dos eixos. Quando realizamos este giro sobre o eixo das abscissas, obtemos uma fatia - no ponto x -  em forma de disco, cuja medida do raio "r" é:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt r = f(x) = x + 1\end{gathered}$

Sabendo que a área dos disco circular pode ser calculada como:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt A(x)= \pi r^{2}\end{gathered}$

Substituindo "I" em "II", temos:

      $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt A(x) = \pi(x + 1)^{2} = \pi (x^{2} + 2x + 1)\end{gathered}$

Sabendo que o volume de um sólido de revolução pode ser definido como:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(III)\end{gathered}$                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt V = \int_{a}^{b}A(x)\,dx \end{gathered}$

Substituindo os valores na equação "III", temos:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt V = \int_{0}^{2} \left[\pi (x^{2} + 2x + 1)\right]\,dx \end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \pi\cdot \int_ {0}^{2} (x^{2} + 2x + 1)\,dx\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \pi \cdot \bigg(\frac{x^{2 + 1}}{2 + 1 } +\frac{2x^{1 + 1}}{1 + 1} + x \bigg)\bigg|_{0}^{2}\end{gathered} }$

                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \pi \cdot \bigg(\frac{x^{3}}{3 } +\frac{2x^{2}}{2} + x \bigg)\bigg|_{0}^{2}\end{gathered} }$

                   $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \tt = \left[\pi\cdot\bigg(\frac{2^{3}}{3} + \frac{2\cdot2^{2}}{2} + 2\bigg)\right] - \left[\pi\cdot\bigg(\frac{0^{3}}{3} + \frac{2\cdot0^{2}} {2} + 0\bigg)\right]\end{gathered} }$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt = \pi\cdot\bigg(\frac{8}{3} + \frac{8}{2} + 2\bigg)\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \pi\cdot \bigg(\frac{16 + 24 + 12}{6}\bigg)\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{52\pi}{6}\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{26\pi}{3}\end{gathered}$

✅ Portanto, o volume procurado é:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt V = \frac{26\pi}{3}\,u.\,v.\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$