Question

calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo x da região limitada por y=x^2 e y=x

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre volumes de sólidos de revolução e integração.

Seja uma região delimitada por duas curvas $f(x)$ e $g(x)$, contínuas e integráveis em um intervalo fechado $[a,~b]$. O volume do sólido gerado pela rotação desta região em torno do eixo $x$ neste intervalo, em que $f(x)>g(x)$ é calculado pela fórmula: $\boxed{\bold{\displaystyle{V=\pi\cdot\int_a^b (f(x))^2-(g(x))^2\,dx}}}$.

Devemos calcular o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas $y=x^2$ e $y=x$ em torno do eixo $x$.

Primeiro, devemos determinar o intervalo em que esta região está limitada. Igualamos as curvas:

$x^2=x$

Subtraia $x$ em ambos os lados da equação

$x^2-x=0$

Fatore a expressão à esquerda da igualdade

$x\cdot(x-1)=0$

Para que um produto seja igual a zero, ao menos um de seus fatores deve ser igual a zero. Assim, temos as soluções:

$x=0~~\bold{ou}~~x-1=0$

Some $1$ em ambos os lados da segunda solução

$x=0~~\bold{ou}~~x=1$

Assim, o intervalo de integração é $[0,~1]$.

Observe que, neste intervalo, $x>x^2$, logo o volume deste sólido será calculado pela integral:

$\bold{V=\pi\cdot\displaystyle{\int_0^1(x)^2-(x^2)^2\,dx}}$

Calcule as potências

$\bold{V=\pi\cdot\displaystyle{\int_0^1x^2-x^4\,dx}}$

Para resolver esta integral, lembre-se:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções: $\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx=\int f(x)\,dx-\int g(x)\,dx}$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C}$.
• A integral definida de uma função, contínua em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)}$, em que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

Aplique a regra da soma

$\bold{V=\pi\cdot\left(\displaystyle{\int_0^1 x^2\,dx-\int_0^1 x^4\,dx}\right)}$

Aplique a regra da potência

$\bold{V=\pi\cdot\left(\dfrac{x^{2+1}}{2+1}-\dfrac{x^{4+1}}{4+1}\right)~\biggr|_0^1}$

Some os valores no expoente e denominador

$\bold{V=\pi\cdot\left(\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^5}{5}\right)~\biggr|_0^1}$

Aplique os limites de integração

$\bold{V=\pi\cdot\left[\dfrac{1^3}{3}-\dfrac{1^5}{5}-\left(\dfrac{0^3}{3}-\dfrac{0^5}{5}\right)\right]}$

Calcule as potências e some os valores

$\bold{V=\pi\cdot\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\right)}\\\\\\ \bold{V=\pi\cdot\dfrac{5-3}{3\cdot5}}\\\\\\ \bold{V=\pi\cdot\dfrac{2}{15}}$

Multiplique os valores

$\bold{V=\dfrac{2\pi}{15}~u.~v}$

Este é o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por estas curvas em torno do eixo $x$.