Question

calcule o volume do solido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo x da região limitada por y=x^2 e y=x


obs: Isso é calculo 2. preciso dessa ajuda. é urgente!!

Answer 1

x^2 = x

x(x-1) = 0

x = 0, 1 ... Interseções das curvas para achar a região delimitada por elas. Note que x >= x^2 nesse intervalo.

Então tiramos a diferença da revolução de y = x e y = x^2 de 0 a 1 para achar o volume.

rev. x = integral de 0 a 1 de pi x^2 dx = pi integral de 0 a 1 de x^2 dx = pi ( 1^3/3 - 0^3/3) = pi/3

rev. x^2 = integral de 0 a 1 de pi x^4 dx = pi integral de 0 a 1 de x^4 dx = pi ( 1^5/5 - 0^5/5) = pi/5

rev. da área entre x e x^2 = rev. x - rev. x^2 = pi/3 - pi/5 = 2pi/15

Answer 2

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre o volume de sólidos de revolução.

Dadas duas curvas $f(x)$ e $g(x)$, contínuas e integráveis em um intervalo fechado $[a,~b]$, no qual $f(x)>g(x)$, o volume de um sólido gerado pela revolução da região compreendida entre as curvas é calculado pela integral: $\boxed{\displaystyle{\bold{V}=\pi\cdot\int_a^b [f(x)]^2-[g(x)]^2\,dx}}$.

Então, sejam as curvas $y=x^2$ e $y=x$. Devemos calcular o volume do sólido gerado pela rotação da região compreendida entre as curvas em torno do eixo $x$.

Para encontrarmos os limites de integração, igualamos as funções e encontramos seus pontos de interseção.

$x^2=x$

Subtraia $x$ em ambos os lados da equação

$x^2-x=0$

Fatore a expressão à esquerda da igualdade

$x\cdot(x-1)=0$

Para que um produto seja igual a zero, ao menos um de seus fatores deve ser igual a zero. Assim, temos as soluções:

$x=0~~\bold{ou}~~x-1=0$

Some $1$ em ambos os lados da segunda equação

$x=0~~\bold{ou}~~x=1$.

Dessa forma, o intervalo em que desejamos calcular o volume do sólido é $[0,~1]$.

Observe que, em todo este intervalo, temos $x>x^2$. Dessa forma, o volume deste sólido de revolução será calculado pela integral:

$\bold{V}=\displaystyle{\pi\cdot\int_0^1 (x)^2-(x^2)^2\,dx}\\\\\\ \bold{V}=\displaystyle{\pi\cdot\int_0^1 x^2-x^4\,dx}$

Para calcular esta integral, lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções: $\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx}$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~C\in\mathbb{R}}$.
• A integral definida de uma função é calculada de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a),~\dfrac{d}{dx}(F(x))=f(x)}$.

Aplique a regra da soma

$\bold{V}=\pi\cdot\displaystyle{\left(\int_0^1 x^2\,dx-\int_0^1 x^4\,dx\right)}$

Aplique a regra da potência

$\bold{V}=\pi\cdot\left(\dfrac{x^{2+1}}{2+1}~\biggr|_0^1-\dfrac{x^{4+1}}{4+1}~\biggr|_0^1\right)$

Some os valores

$\bold{V}=\pi\cdot\left(\dfrac{x^3}{3}~\biggr|_0^1-\dfrac{x^5}{5}~\biggr|_0^1\right)$

Aplique os limites de integração

$\bold{V}=\pi\cdot\left(\dfrac{1^3}{3}-\dfrac{0^3}{3}-\left[\dfrac{1^5}{5}-\dfrac{0^5}{5}\right]\right)$

Calcule as potências e efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\bold{V}=\pi\cdot\left(\dfrac{1}{3}-0-\dfrac{1}{5}+0\right)\\\\\\ \bold{V}=\pi\cdot\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\right)$

Some e multiplique os valores

$\bold{V}=\pi\cdot\dfrac{2}{15}\\\\\\ \bold{V}=\dfrac{2\pi}{15}~\bold{u.~v}$.

Este é o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada por essas curvas.