Question

Calcule o volume do sólido abaixo do parabolóide z=2x²+2y², acima do plano xy e dentro do cilindro x²+y²=-2x.

R: $2\pi$

Answer 1

Seja S o sólido que queremos calcular o volume. O primeiro passo é fazer um esboço para entender como é o sólido. No caso desse problema, podemos pensar no plano xy como o 'chão' e o parabolóide como o 'teto'. Então S esta delimitado entre o chão e o teto. Além disso, o cilindro são as 'paredes' do seu sólido.

Depois disso precisamos escolher coordenadas adequadas para calcular. Na maioria das situações ( e essa não é exceção)  vc quer coordenadas que tornem a descrição do sólido fácil. Dado que S tem 'paredes' verticais, coordenadas cartesianas e cilindricas funcionam bem. Com coordenadas esféricas o problema fica mais difícil. Também da pra resolver o problema com uma integral dupla, mas faremos com a tripla mesmo, usando coordenadas cilindricas. Daí temos:

$\displaystyle \textrm{Volume} = V = \iiint_S 1 \,dV$

Agora passamos a descrever S em coordenadas cilindricas. Lembramos que a mudança de variavel é dada por

x =  r cosθ

y = r senθ

z = z

Voltando ao problema, temos:

0 <  z < 2x²+2y²

Observe que z é a "altura" do sólido, assim z está delimitado entre o plano xy ( que possui equação z = 0) e o paraboloide (que possui equação z =2x²+2y²). Disso tiramos a inequação acima. Mas como estamos em coordenadas polares, fazenso as substituições encontramos 0 < z < 2r²

Agora precisamos descrever a 'base' do sólido. Ou seja, basta considerar sua projeção no plano xy, que é delimitada pelo o círculo x²+y² = -2x. Como o centro do círculo é o ponto (-2,0) e o raio é 2, concluímos que está contido nos quadrantes 2 e 3. Portanto:

π/2 < θ < 3π/2

Por outro lado, em polares o círculo x²+y² = -2x é dado por r² = -2rcosθ --> r = -2cosθ. Logo concluímos que

0 <  r < -2cosθ

Agora que já temos a descrição do sólido em coordenadas cilindricas, basta escrever a integral (não esquecendo de colocar o Jacobiano):

$\displaystyle V = \int_{\pi / 2}^{ 3\pi/2} \int_0 ^{-2\cos\theta} \int_0^{2r^2} r \, dz dr d\theta \\[4ex]V = \int_{\pi / 2}^{ 3\pi/2} \int_0 ^{-2\cos\theta} 2r^3 \, dr d\theta \\[4ex]V = \int_{\pi / 2}^{ 3\pi/2} 8 \cos^4\theta \, d\theta$

Para calcular a integral de cos⁴θ podemos fazer usar alguma identidade trigonometrica (caso vc conheça, existe uma semelhante a cos2θ = 2cos²θ - 1) ou então fazer por partes. Sendo u = cos³θ e dv = cosθ dθ temos du = -3cos²θsenθ e v = senθ. Disso temos:

$\displaystyle \int u \,dv = uv - \int v \,du \implies \\[4ex]\int \cos^4 \theta \, d\theta = \cos^3 \theta \sin \theta + 3 \int \cos^2 \theta \sin^2 \theta \, d\theta \implies$

$\displaystyle \int \cos^4 \theta \, d\theta = \cos^3 \theta \sin \theta + 3 \int \cos^2 \theta (1-\cos^2 \theta) \, d\theta \implies \\[4ex]\displaystyle \int \cos^4 \theta \, d\theta = \cos^3 \theta \sin \theta + 3 \int \cos^2 \theta \, d\theta - 3 \int\cos^4 \theta \, d\theta \implies \\[4ex]4 \int \cos^4 \theta \, d\theta = \cos^3 \theta \sin \theta + 3 \int \cos^2 \theta \, d\theta$

Por fim, como cos(3π/2) = cos(π/2) = 0 temos

$\displaystyle V = \int_{\pi / 2}^{ 3\pi/2} 8 \cos^4\theta \, d\theta = 6 \int_{\pi/2}^{ 3 \pi / 2} \cos^2 \theta\, d\theta = 3\pi$

Então o volume do sólido é 3π

Obs.: Eu conferi e não estou achando erro nas contas, então pode ser que seu gabarito está incorreto. Mas pode ser  eu quem errou