Question

Calcule o volume do sólido abaixo da superfície z=2+x2+(y−2)2 acima do plano z=1 para −1≤x≤1,0≤y≤4​

Answer 1

*Nota: a primeira integral varia de -1 até 1, não de 1 a 1, acontece que o -1 é bugado aqui.

$\int\limits^4_0 \int\limits^1_1 {2+x^2+(y-2)^2-1} \, dx dy \\\\\int\limits^1_1 {2+x^2+(y-2)^2-1} \, dx=x+\frac{x^3}{3} +xy^2-2xy+4x|\frac{1}{-1} \\\\(1+\frac{1}{3}+y^2-2y+4)-( -1-\frac{1}{3} -y^2+2y-4)=2+\frac{2}{3}+8+2y^2-4y\\\\2y^2-4y+\frac{32}{3} \\\\\int\limits^4_0 {2y^2-4y+\frac{32}{3} } \, dy= \frac{2y^3}{3} -\frac{4y^2}{2} +\frac{32y}{3} |\frac{4}{0} \\\\(\frac{128}{3} -32+\frac{128}{3} )-0=\frac{160}{3} U.v$

*U.v = Unidade de volume