Question

Calcule o volume do sólido

Answer 1

Temos o seguinte plano:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: z = 4 - x - y$

Esse tal plano é basicamente uma função de duas variáveis, ou seja:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: f(x,y) = 4-x-y$

Essa região é retangular, ou seja, podemos calcular o volume apenas pela integral dupla básica onde temos:

$\: \: \: \: \: \: V = \int\limits_{a}^{b} \int\limits_{c}^{d}f(x,y) dA$

Onde essa diferencial de área dA pode ser dxdy ou dydx, pois nessa caso a permutação dessas diferenciais não é significativa. A questão nos diz que ela é limitada pelo retângulo R = [0,2] x [0,2], onde esse primeiro [0,2] representa a variação de x e o segundo [0,2] a variação de y, então partindo dessa ideia, vamos substituir essa informação na integral e também a função, que é basicamente a do plano:

$\: \: \: \: \: \: V = \int\limits_{0}^{2} \int\limits_{0}^{2}4 - x - y \: dxdy$

Agora é só resolver basicamente do mesmo jeito de quando tínhamos integrais simples:

$\: \: \: \: \: \: V = \int\limits_{0}^{2} \int\limits_{0}^{2} 4 - x - y \: dxdy \\ \\ V = \int\limits_{0}^{2}(4x - \frac{x {}^{2} }{2} - yx ) \bigg | _{0}^{2}dy \\ \\ V = \int\limits_{0}^{2} 6- 2y \: dy \\ \\ V = 6y - y {}^{2} \bigg | _{0}^{2} \\ \\ \boxed{V = 8 \: u.v }$

Espero ter ajudado

Answer 2

• O volume do sólido será de 8 unidades de volume.

Dado o plano $z = 4-x-y$ , o volume do sólido será dado por uma integral dupla básica. Dada por:

$\large\displaystyle\begin{aligned}\boxed{\int \int _R f(x,y)\ dA }\end{aligned}$

• Sabendo que R = [ 0,2 ] ×  [ 0,2 ]. Logo:

$\large\displaystyle\begin{aligned}V = \int ^2_0 \int^2_0 (4-x-y)\ dxdy \end{aligned}$

Portanto, o volume será dado resolvendo aquela integral dupla. Para resolver, devemos utilizar o Teorema de Fubini. Que diz que podemos inverter a ordem de integração.

$\large\displaystyle\begin{aligned}\int^c_a \int ^d_b f(x,y) \ dxdy \Leftrightarrow \int ^d_b\int^c_a f(x,y)\ dydx \end{aligned}$

Portanto, graças ao Teorema de Fubini, não importa a ordem que iremos começar, começando por x ou por y, ambas darão o mesmo resultado. Fazendo por x:

$\large\displaystyle\begin{aligned}V = \int ^2_0 \int^2_0 (4-x-y)\ dxdy \end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned}V = \int ^2_0 \left[ \int^2_0 (4-x-y)\ dx\right]dy \end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned}V = \int ^2_0 \left[ \left. \left(4x-\frac{x^2}{2}-yx\right)\right|^2_0\right]dy \end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned}V = \int ^2_0 \left[ \left(4(2)-\frac{(2)^2}{2}-y(2) - 4(0)-\frac{(0)}{2} - y(0)\right)\right]dy \end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned}V = \int ^2_0 \left[ \left(6-2y \right)\right]dy \end{aligned}$

• Resolvendo agora a outra integral.

$\large\displaystyle\begin{aligned}V = \int ^2_0 \left[ \left(6-2y\right)\right]dy \end{aligned}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned}V = \left[ \left. \left(6y-\frac{\not{2}y^2}{\not{2}}\right)\right|^2_0\right] \end{aligned} }$

$\large\displaystyle\begin{aligned}V = \left[ \left. \left(6y-y^2\right)\right|^2_0\right] \end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned}V = \left[ \left(6(2)-(2)^2 - 6(0)-(0)^2\right)\right] \end{aligned}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\boxed{\boxed{\green{V = 8\ u.v}}}\end{aligned} }$

Veja mais sobre:

Teorema de Fubini.

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