Question

Calcule o volume de uma pirâmide regular de
base hexagonal cuja altura é 100 mm e o
apótema da base mede 10 √3 mm.

Estou muito intrigado com essa questão.

Answer 1

Uma pirâmide regular, que possui altura igual a 100mm e a apótema de sua base é 10√3mm, tem uma volume igual a 20√3 cm³.

• Apótema da base

É a distância entre o meio de um dos lados da base do poliedro, até o centro da base. Veja o anexo 1.

• Pirâmide regular

Todas as arestas de sua base possuem o mesmo tamanho, da mesma forma, todas as arestas laterais possuem o mesmo tamanho.

Para encontrar o volume dessa pirâmide, temos que calcular primeiro a área de sua base.

É um pouco complicado calcular isso apenas se tendo a apótema da base. Mas não é impossível :)

Imagine o centro desse hexágono. Ele pode ser dividido em 6 triângulos iguais, e cada um terá um angulo de 60º. Caso pegarmos 1 desses triângulos e dividirmos ao meio (exatamente no apótema da base), teremos um triângulo retângulo, e um de seus ângulos terá 30º (veja o anexo 2).

Podemos utilizar o o cosseno de 30º e o valor do cateto adjacente (nesse caso o apótema da base) para calcular o lado da base dessa pirâmide.

$cos(30) = \frac{ca}{hip}$

*$ca$ é o cateto adjacente;

*$hip$ é a hipotenusa.

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{10\sqrt{3} }{hip}$

$20\sqrt{3} = \sqrt{3}hip$

$hip = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{3} }$

$hip = 20$

Agora que já sabemos o lado da base, podemos calcular sua área:

$a = \frac{3L^{2}\sqrt{3} }{2}$

*L = lado da base.

$a = \frac{3*20^{2}\sqrt{3} }{2}$

$a = \frac{3*400\sqrt{3} }{2}$

$a = \frac{1200\sqrt{3} }{2}$

$a = 600\sqrt{3}$ mm²

A área da base dessa pirâmide é 600√3 mm².

Finalmente vamos descobrir o volume dessa pirâmide, dada pela fórmula:

$v = \frac{1}{3}* A_{b}*h$

*$A_{b}$ é a área da base;

*$h$ é a altura.

$v = \frac{1}{3} *600\sqrt{3}*100$

$v = 20000\sqrt{3}$ mm³

Para tornar o valor mais simples podemos transforma-lo em cm³, dividindo-o por 1000:

v = 20√3 cm³

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Answer 2

me perdoei respondi errado