Question

Calcule o vetor gradiente ∇f(3,2) sendo f(x,y) = 3x³-5x²
Ajuda!!

Answer 1

O vetor gradiente sendo f(x,y) = 3x³-5x² no ponto (3,2) é igual a

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{\nabla}f(3,2)=\left( 51 \ ,\ 0\right) \end{gathered}$

O vetor gradiente é dado da seguinte forma

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla}f(p)=\left( \frac{\partial f}{\partial x} \ ,\ \frac{\partial f}{\partial y}\right) \end{gathered}$

Então, basta calcularmos essas derivadas parciais e substituir no ponto dado pela questão. ( Aí é só correr pro abs! :) ).

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\begin{cases} \frac{\partial (3x^3-5x^2)}{\partial x} = 9x^2-10x\\ \\ \frac{\partial (3x^3-5x^2)}{\partial y}=0\end{cases}\end{gathered}$

Perceba ainda que como não temos o termo y, só substituiremos no ponto x.

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla}f(3,2)=\left( 9x^2-10x \ ,\ 0\right) \end{gathered}$

     $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla}f(3,2)=\left( 9(3)^2-10(3) \ ,\ 0\right) \end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\therefore \boxed{ \vec{\nabla}f(3,2)=\left( 51 \ ,\ 0\right) }\end{gathered} }$

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Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o vetor gradiente da referida função polinomial de duas variáveis, aplicado ao ponto "P" é:

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\ \vec{\nabla} f(3, 2) = (51,\, 0)\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                    $\Large\begin{cases} f(x, y) = 3x^{3} - 5x^{2}\\\vec{\nabla} f(3,\,2) \Longrightarrow P(3, 2)\end{cases}$

Seja f uma função em duas variáveis x e y, o seu gradiente é definindo como:

    $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(x, y) = \langle f_{x}(x, y), \, f_{y}(x, y) \rangle = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}\end{gathered}$

Então, temos:

• Calculando o vetor gradiente da função:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(x, y) = \langle f_{x}(x, y),\,f_{y}(x, y)\rangle\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (3\cdot3\cdot x^{3 - 1} - 2\cdot5\cdot x^{2 - 1})\,\vec{i} + 0\,\vec{j}\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (9x^{2}\, - 10x)\,\vec{i} + 0\,\vec{j}\end{gathered}$

• Calcular o vetor gradiente da função aplicado ao ponto "P":

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(3, 2) = (9\cdot3^{2} - 10\cdot3)\,\vec{i} + \,0\,\vec{j}\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 51\,\vec{i} + 0\,\vec{j}\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (51,\, 0)\end{gathered}$

✅ Portanto, o vetor gradiente da função aplicado ao ponto P é:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(3, 2) = (51,\,0)\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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