Question

- Calcule o vértice V de cada parábola definida pelas funções quadráticas abaixo indicando o valor máximo ou o valor mínimo admitido pelas mesmas e determine a) f(x) = -3x² + 2x b) f(x) = 2x² - 3x – 2 c) f(x) = -4x² + 4x - 1 *
O valor máximo é 1/3 e a imagem é -00,1/3

Answer 1

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⠀⠀⠀☞ a) (1/3, 1/3); b) (3/4, -25/8); c) (1/2, 0). ✅

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⠀⠀⠀⭐⠀Para realizar este exercício vamos utilizar a fórmula de Bháskara para encontrar a relação dos coeficientes com o vértice da parábola.⠀⭐⠀

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⠀⠀⠀➡️⠀O que chamamos de fórmula de Bháskara nada mais é do que um rearranjo algébrico de uma função quadrática (função polinomial de grau dois) para isolarmos a variável x quando y = 0 (ou seja, uma forma de encontrarmos a(s) raiz(es) desta função, caso ela(s) exista(m), sendo a(s) raiz(es) geometricamente o(s) valor(es) de x por onde nossa parábola, descrita pela função quadrática, intercepta(m) o eixo x):

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                    $\gray{\boxed{~~\begin{array}{lcr}\\&\text{\LARGE \pink{\underline{\bf~~~~O~tal~do~Bh\acute{a}skara...~~~~}} }&\\\\\\&\green{\sf\clubsuit\underline{~Multiplicando~ambos~os~lados~por~4a:~}\clubsuit}&\\\\&\orange{\sf 4a \cdot (a \cdot x^2 + b \cdot x + c) = 0 \cdot 4a}&\\\\&\orange{\sf 4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0}&\\\\\\&\green{\sf\clubsuit\underline{~Somando~b^2~em~ambos~os~lados:~}\clubsuit}&\\\\&\orange{\sf b^2 + (4a^2x^2 + 4abx + 4ac) = 0 + b^2}&\\\\&\orange{\sf 4a^2x^2 + 4abx + b^2 = b^2 - 4ac}&\\\\\\&\green{\sf\clubsuit\underline{~Fatorando~o~lado~esquerdo:~}\clubsuit}&\\\\&\orange{\sf (2ax)^2 + 2 \cdot (2ax \cdot b) + b^2 = b^2 - 4ac}&\\\\&\orange{\sf (2ax + b)^2 = b^2 - 4ac}&\\\\&\orange{\sf \sqrt{(2ax + b)^2} = \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}&\\\\&\orange{\sf 2ax + b = \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}&\\\\&\orange{\sf 2ax = -b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}&\\\\&\orange{\sf x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}}&\\\\\\&\green{\sf\spadesuit\underline{~Seja~o~discriminante~\Delta = b^2 - 4 \cdot a \cdot c:~}\spadesuit}&\\\\\\&\red{\boxed{\pink{\boxed{\Large\begin{array}{lcr}\green{\star}&&\green{\star}\\&\!\!\orange{\bf x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 \cdot a}}\!\!&\\\green{\star}&&\green{\star}\\\end{array}}}}}&\\\\\end{array}~~}}$  

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⠀⠀⠀➡️⠀Para o vértice desta parábola temos que a sua coordenada em x será a média das raízes (mesmo que não sejam definidas nos Reais) e para coordenada em y basta substituir o x encontrado na função:

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                    $\gray{\boxed{~~\begin{array}{lcr}\\\\&\text{\LARGE \pink{\underline{\bf~~~~V\acute{e}rtice~da~par\acute{a}bola~~~~}} }&\\\\\\&\green{\sf\clubsuit\underline{~Para~x_v:~}\clubsuit}&\\\\&\orange{\sf x_v = \dfrac{\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}{2}}&\\\\&\orange{\sf x_v = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta} + -b - \sqrt{\Delta}}{4a}}&\\\\&\orange{\sf x_v = \dfrac{-2b}{4a} = \boxed{\sf \dfrac{-b}{2a}}}&\\\\\\&\green{\sf\clubsuit\underline{~Para~y_v:~}\clubsuit}&\\&&\\&\orange{\sf y_v = a \cdot \dfrac{(-b)^2}{(2a)^2} + b \cdot \dfrac{-b}{2a} + c}&\\\\&\orange{\sf y_v = a \cdot \dfrac{b^2}{4a^2} + b \cdot \dfrac{-b}{2a} + c}&\\\\&\orange{\sf y_v = \dfrac{b^2}{4a} + \dfrac{-2b^2}{4a} + \dfrac{4ac}{4a}}&\\\\&\orange{\sf y_v = \dfrac{-b^2 + 4ac}{4a} = \boxed{\sf \dfrac{-\Delta}{4a}}}&\\\\\\&\green{\sf\spadesuit\underline{~Ou~seja:~}\spadesuit}&\\\\\\&\red{\boxed{\pink{\boxed{\Large\begin{array}{lcr}\green{\star}&&\green{\star}\\&\!\!\orange{\bf P_v = \left(\dfrac{-b}{2a},\dfrac{-\Delta}{4a}\right)}\!\!&\\\green{\star}&&\green{\star}\\\end{array}}}}}&\\&&\end{array}~~}}$  

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⠀⠀⠀➡️⠀Desta forma temos:

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a) f(x) = -3x² + 2x⠀⠀⠀⠀⠀✍

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$\blue{\large\begin{cases}\text{ \sf~x_v = \dfrac{-2}{2 \cdot (-3)}~~~\pink{\Longrightarrow}~\green{\boxed{\blue{\sf \dfrac{1}{3}}}} }\\\\ \text{ \sf~y_v = \dfrac{-(2^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 0)}{4 \cdot (-3)}~~~\pink{\Longrightarrow}~\green{\boxed{\blue{\sf \dfrac{1}{3}}}} }\end{cases}}$ ✅

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b) f(x) = 2x² - 3x – 2⠀⠀⠀✍

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$\blue{\begin{cases}\text{ \sf~x_v = \dfrac{-(-3)}{2 \cdot 2}~~~\pink{\Longrightarrow}~\green{\boxed{\blue{\sf \dfrac{3}{4}}}} }\\\\ \text{ \sf~y_v = \dfrac{-((-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2))}{4 \cdot 2}~~~\pink{\Longrightarrow}~\green{\boxed{\blue{\sf -\dfrac{25}{8}}}} }\end{cases}}$ ✅

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c) f(x) = -4x² + 4x - 1⠀⠀⠀✍

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$\blue{\begin{cases}\text{ \sf~x_v = \dfrac{-4}{2 \cdot (-4)}~~~\pink{\Longrightarrow}~\green{\boxed{\blue{\sf \dfrac{1}{2}}}} }\\\\ \text{ \sf~y_v = \dfrac{-(4^2 - 4 \cdot (-4) \cdot (-1))}{4 \cdot (-4)}~~~\pink{\Longrightarrow}~\green{\boxed{\blue{\sf 0}}} }\end{cases}}$ ✅

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                             _______________________________☁

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⠀⠀☀️ L͎̙͖͉̥̳͖̭̟͊̀̏͒͑̓͊͗̋̈́ͅeia mais sobre o discriminante:

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                                     https://brainly.com.br/tarefa/48188257 ✈  

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⠀⠀⠀☕ Bons estudos.

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⠀⠀⠀⠀⠀(Dúvidas nos comentários) ☄

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                             __________________________$\LaTeX$✍

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