Question

Calcule o valor x na equação: 2^2x+1 + 3.2^x+1=8

Answer 1

Olá, bom dia!

$2^{2x+1}+3\cdot2^{x+1}=8$

Vamos utilizar propriedades para o melhoramento da equação, como tem uma soma pelo meio e como não tem propriedade pra soma, vamos ter que substituir um certo valor por outra incógnita.

A soma nos expoentes é resultado de uma multiplicação de mesma base, vamos voltar ao que era antes.

Propriedade que nos garante isso: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

$2^{2x}\cdot2^1+3\cdot2^x\cdot2^1=8$

Podemos perceber que teremos que substituir o 2 elevado a x, pois assim facilita o processo, mas ali eu tenho elevado a 2x.

Essa propriedade me garante: $(a^m)^n=a^{m\cdot n}=(a^n)^m$

$(2^x)^2\cdot2+3\cdot2^x\cdot2=8$

Agora é só substituir, vamos substituir 2 elevado a x por y.

$y^2\cdot2+3\cdot y\cdot2=8$

Melhorando isso, temos uma equação do 2º grau, vamos resolvê-la com a fórmula de Bhaskara.

$2y^2+6y-8=0\\\\Coeficientes:\;a=2,\;b=6\;e\;c=-8\\\\\Delta=b^2-4ac\\\Delta=6^2-4\cdot2\cdot(-8)\\\Delta=36+64\\\Delta=100\\\\y=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\y=\dfrac{-6\pm\sqrt{100}}{2\cdot2}\\\\y=\dfrac{-6\pm10}{4}\\\\y_1=\dfrac{-6+10}{4}=\dfrac{4}{4}=1\\\\y_2=\dfrac{-6-10}{4}=\dfrac{-16}{4}=-4$

Acabou? Não! Temos que desfazer a substituição.

$2^x=y_1\\2^x=1\\2^x=2^0\\\boxed{x=0}\\\\2^x=y_2\\2^x=-4\\2^x\neq-4$

Então, a solução é x = 0, pois no segundo caso, não existe um valor que 2 elevado a ele dá -4.

Espero ter ajudado.

Bons estudos! :)