Question

Calcule o valor numérico da expressão (0,999... +
) 30,.
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Answer 1

Vamos responder parte por parte. Primeiro nós teremos que achar a fração geratriz de $0,99\overline{9}$ e $30,4\overline{9}$. Depois vamos fazer as divisões de frações dentro do parenteses.

Fração geratriz de $0,99\overline{9}$:

$x = 0,99\overline{9} \\ 10x = 9,99\overline{9} \\\\ Agora \ subtrai \ a \ segunda \ equa\c{c}\tilde{a}o \ pela \ primeira \\\\ 9x = 9 \\ x = \frac{9}{9} \\ \boxed{x = 1}$

Sim, a fração geratriz de $0,99\overline{9}$ é igual a 1. Tem um pouco de limites/PG por trás disso..

Fração geratriz de $30,4\overline{9}$:

$y = 30,499\overline{9}\Rightarrow Multiplica \ por \ 10 \\ 10y = 304,99\overline{9}\Rightarrow Multiplica \ por \ 10 \ de \ novo \\ 100y = 3049,99\overline{9} \\\\ Agora \ subtrai \ a \ terceira \ equa\c{c}\tilde{a}o \ pela \ primeira \\\\ 90y = 2745 \\ y = \frac{2745}{90} \\ \boxed{y = 30.5}$

Aqui é quase o mesmo caso da dizima de 0,999...

$30,4\overline{9}$ é uma falsa dízima, é o mesmo que 30.5.

Achando o valor da divisão de frações:

$\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{5}}{\frac{3}{5}-\frac{1}{15}} = \frac{\frac{5+3}{15}}{\frac{9-1}{15}} = \frac{\frac{8}{15}}{\frac{8}{15}} = \boxed{1}$

Estarei chamando a expressão da questão como R. Juntando os valores que foram achados, temos como resultado:

$R = (0,99\overline{9}+\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{5}}{\frac{3}{5}-\frac{1}{15}})*30,4\overline{9} \\ R = (1+1)*30,5 \\ R = (2)*30,5 \\ \boxed{R = 61}$