Question

Calcule o valor exato da expressão sin⁡ -2850° + cos⁡(38π⁄3)

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Pedrosaldanha, que a resolução é simples.
Tem-se a seguinte expressão, que vamos chamá-la de um certo "y", apenas para deixá-la igualada a alguma coisa:

y = sen(-2.850º) + cos(38π/3)

Antes veja que:
sen(-2.850º) = - sen(2.850º)
e
cos(38π/3) = cos(38*180/3) = cos(6.840º/3) = cos(2.280º)

Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

y = - sen(2.850º) + cos(2.280º)

Agora veja mais isto: quando você tem um arco maior que 360º basta dividir esse arco por 360 e ver qual é o quociente e o resto. Será este resto que você vai considerar como a primeira determinação do arco inicialmente dado.
Assim, teremos:

2.850º/360 = dá quociente 7 e resto igual a 330.
Isto significa que foram dadas duas voltas completas no círculo trigonométrico e, ao iniciar a 8ª volta, parou-se no arco de 330º. Logo:
 -sen(2.850º) = - sen(330º), ou seja:

-sen(2.850º) = - sen(330º) = -sen(360º-30º) = -sen(30º) = - (1/2) = -1/2.

e

2.280/360 = dá quociente igual a 6 e resto igual a 120.
Isto significa que foram dadas 6 voltas completas no círculo trigonométrico e, ao iniciar a 7ª volta, parou-se no arco de 120º. Logo: cos(2.280º) = cos(120º), ou seja:

cos(2.280º) = cos(120º) = cos(180º-60º) = -cos(60º) = -1/2.

Agora que já encontramos os valores relativos do seno e do cosseno de cada arco, então vamos substituir na nossa expressão "y", que é esta:

y = sen(-2.850º) + cos(2.280º) ---- ou, o que é a mesma coisa:
y = -sen(2.850º) + cos(2.280º) --- substituindo pelos arcos correspondentes e vistos aí em cima, teremos:

y = -sen(30º) - [-cos(60º)] ---- substituindo-se pelos respectivos valores, teremos:
y =  -1/2 - (-1/2) --- retirando-se os parênteses, teremos:
y = -1/2 + 1/2
y = 0 <--- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.