Question

Calcule o valor exato da expressão sin⁡ -2850°+cos⁡(38π⁄3)

Answer 1

Não conhecemos o seno de -2850, mas sabemos que a função seno é ímpar, ou seja: 

f(-x) = -f(x)

Então podemos encontrar -seno(2850°). Também não conhecemos esse seno, mas sabemos que 2850° é arco côngruo de um ângulo mais elementar. E para sabermos esse ângulo, podemos dividir por 360°, e teremos o número de voltas no círculo trigonométrico, e o resto será 330°. 

Ou seja, basta encontrarmos o seno de 330°. Para isso, podemos simplificar, encontrando o seno de (270 + 60).

Então, teremos:

sen(a+b) = sen a cos b + sen b cos a
sen(270+60) = sen 270 cos 60 + sen 60 cos 270

Podemos pensar no círculo trigonometrico e facilmente resolver esse problema. 

sen 270 = -1
sen 60 = (√3)/2
cos 270 = 0
cos 60 = 1/2.

sen(270+60) = sen 270 cos 60 + sen 60 cos 270
= -1 . 1/2 + (√3)/2 . 0
= -1/2

Encontramos finalmente o seno = -1/2. Como queríamos -sen, ficaremos com -sen = -(-1/2) = 1/2. 

Para resolvermos o problema do cosseno agora, podemos novamente dividir a expressão por 360°, pois temos a princípio um ângulo muito grande. 
Sabendo que pi = 180°, dividimos por 360. Fica assim:

cos(38 . 180/3) = cos(2280). 

Dividindo 2280 por 360, teremos um número, e resto 120.
Resta agora, encontrarmos o valor do cosseno de 120.

Cos(120) pode ser escrito como Cos(90+30)

Cos(a+b) = Cos a Cos b - Sen a Sen b
Cos(90+30) = Cos 90 Cos 30 - Sen 90 Sen 30

Cos 90 = 0 
Cos 30 = (√3)/2
Sen 90 = 1
Sen 30 = 1/2

Logo, cos(120) = 0 . (√3)/2 - 1 . 1/2
cos(120) = -1/2.

Agora, somando sen(-2850) + cos(38pi/3) = 1/2 - 1/2 = 0. 

Acredito ser isso. :D