Question

Calcule o valor do limite:

$\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{2x+3}-\sqrt{5}}$

Obs.: Sem usar a regra de L'Hôpital

Answer 1

O exercício solicita o valor do seguinte limite de uma função univariada:

$\mathsf{\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{2x+3}-\sqrt{5}}}$

A fim de "driblar" a indeterminação matemática "zero sobre zero", proveniente da substituição direta da variável real x pelo número 1, multiplicaremos a "fração algébrica irracional" (função) acima por um quociente de expressões algébricas unitário (de valor igual a um), objetivando transformá-la numa outra equivalente e de escrita conveniente. Em outras palavras, basta multiplicar numerador e denominador da função em questão pela expressão "conjugada" do próprio denominador. Com isso, o limite acima equivaler-se-á:

$\mathsf{\quad\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{2x+3}-\sqrt{5}}}\\\\\\ \mathsf{=\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{2x+3}-\sqrt{5}}\cdot \dfrac{\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}}}$

Para dar continuidade ao desenvolvimento, lembremo-nos da identidade algébrica:

$\mathsf{\big(a-b\big)\!\big(a+b\big)=a^2-b^2}$

, válida para quaisquer a e b complexos.

Posto isso, temos:

$\mathsf{\quad\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{2x+3}-\sqrt{5}}\cdot \dfrac{\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}}}\\\\\\ \mathsf{=\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}}{2x+3-5}\cdot \dfrac{\sqrt{x}-1}{1}}\\\\\\ \mathsf{=\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{x}-1}{\ x-1}}$

Agora, ainda com o intuito de reescrever a função e reduzi-la a uma forma que possibilite a substituição direta da variável x pelo número 1, multiplicaremos novamente a função por um quociente unitário, sendo este construído a partir da expressão "conjugada" do numerador da fração multiplicador acima explicitada. Sendo assim, o limite desejado é igual a:

$\mathsf{\quad\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{x}-1}{\ x-1}}\\\\\\ \mathsf{=\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{x}-1}{\ x-1}\cdot \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}}$

$\mathsf{=\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}}{2}\cdot \dfrac{\overbrace{\mathsf{x-1}}^{\neq\,0}}{\underbrace{\mathsf{x-1}}_{\neq\,0}}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{x}+1}}$

$\mathsf{=\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}}{2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{x}+1}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{\sqrt{2\cdot 1+3}+\sqrt{5}}{2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{1}+1}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{\diagup\!\!\!\!2\sqrt{5}}{\diagup\!\!\!\!2}\cdot \dfrac{1}{2}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{\sqrt{5}}{2}}$

O que equivale a escrever:

$\boxed{\boxed{\mathsf{\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{2x+3}-\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}}}}$

Mocinha, um grande abraço!