Question

Calcule o valor do limite abaixo. ( outro método que não seja L'Hopital)

lim ..... [cos(3x) -1 ] / 5x
x→0

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Answer 1

Temos o seguinte limite trigonométrico:

$\sf \lim_{x \rightarrow0} \frac{cos(3x) - 1}{5x}$

A questão nos diz que não podemos resolvê-lo através de L'hospital, portanto teremos que usar o nosso conhecimento de trigonometria.

• Primeiro vamos multiplicar esse limite pelo conjugado do numerador:

$\sf \lim_{x \rightarrow0} \frac{cos(3x) - 1}{5x} . \left(\frac{cos(3x) + 1}{cos(3x) + 1} \right) = \\ \\ \sf \lim_{x \rightarrow0} \frac{cos(3x).cos(3x) \cancel{+ 1.cos(3x) - 1.cos(3x)} - 1.1}{5x. [cos(3x) + 1]} = \\ \\ \sf \lim_{x \rightarrow0} \frac{cos {}^{2} (3x) - 1}{ 5x.[cos(3x) + 1]}$

De acordo com a relação fundamental da trigonometria temos que:

$\sf sen {}^{2} x + cos {}^{2}x = 1 \\ \sf cos {}^{2} x = 1 - sen {}^{2} x \\ \bullet \: \: \sf cos {}^{2} x - 1 = - sen {}^{2} x \: \: \bullet$

Vamos substituir essa expressão no local da expressão que possuímos no numerador.

$\sf \lim_{x \rightarrow0} \frac{ \underbrace{cos {}^{2}(3x) - 1 } _{ - sen {}^{2}(3x)} }{5x.[cos(3x) + 1]} = \\ \\ \sf \lim_{x \rightarrow0} \sf \frac{ - sen {}^{2}(3x) }{5x.[cos(3x) + 1]} = \\ \\ \sf \lim_{x \rightarrow0} \frac{ (-1).sen(3x).sen(3x)}{5x.[cos(3x) + 1]} = \\ \\ \sf \lim_{x \rightarrow0} \frac{ - 1}{1} . \lim_{x \rightarrow0} \frac{sen(3x)}{5x} .\lim_{x \rightarrow0} \frac{sen(3x)}{1} . \lim_{x \rightarrow0} \frac{1}{5x.cos(3x) + 1} = \\ \\ \sf \underbrace{\lim_{x \rightarrow0} - 1} _{constante} . \lim_{x \rightarrow0} \frac{ \frac{3}{5}.sen(3x) }{ \frac{3}{5} .5x} . \lim_{x \rightarrow0}sen(3x). \lim_{x \rightarrow0} \frac{1}{5x.cos(3x) + 1} = \\ \\ \sf - 1. \lim_{x \rightarrow0} \frac{ \frac{3}{5} .sen(3x)}{3x} . \lim_{x \rightarrow0} sen(3x). \lim_{x \rightarrow0} \frac{1}{5x.cos(3x) + 1} = \\ \\ \sf - 1. \underbrace{\lim_{x \rightarrow0} \frac{3}{5}}_{constante}. \lim_{x \rightarrow0}\frac{sen(3x)}{3x} . \lim_{x \rightarrow0}sen(3x). \lim_{x \rightarrow0} \frac{1}{5x.cos(3x) + 1} = \\ \\ \sf - 1 \: . \: \frac{3}{5} \: . \: 1 \: . \lim_{x \rightarrow0}sen(3.0). \lim_{x \rightarrow0} \frac{1}{5.0.cos(3.0) + 1} = \\ \\ \sf - \frac{3}{5} . sen(0). \frac{1}{0.cos(0) + 1} = \\ \\ \sf - \frac{3}{5}.0. \frac{1}{0 + 1} = - \frac{3}{5} .0 = \boxed{\sf 0} \leftarrow resposta$

• Vamos verificar o resultado através de L'hospital.

A regra de L'hospital nos diz que quando temos uma indeterminação podemos tirar a derivada do numerador e denominador e isso garantirá que a indeterminação sumirá.

$\boxed{\boxed{\sf \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f' (x)}{g'(x)} }}$

• Derivando:

$[ \sf cos(3x) - 1]' = - sen(3x).(3x)' = - sen(3x).3 = \boxed {\sf - 3.sen(3x)} \\ \\ \sf (5x)' = 1.5x {}^{1 - 1} = 1.5x {}^{0} = 1.5.1 = 5$

Portanto temos que a expressão derivada é:

$\bullet \: \: \sf \frac{ - 3sen(3x)}{5} \: \: \bullet$

Agora substitua o valor a qual o "x" tende:

$\sf \frac{ - 3.sen(3x)}{5} = \frac{ - 3.sen(3.0)}{5} = \frac{ - 3.sen(0)}{5} = \frac{ - 3.0}{5} = \frac{0}{5} = \boxed{ \sf0}$

De fato a resposta é "0".

Espero ter ajudado