Matemática, perguntado por lucassilva2324, 5 meses atrás

Calcule o valor de y para que a equação x² + 21yx + 441 = 0 tenha duas raízes reais iguais.

A) -1 e 4

B)4 e 2

C)-3 e 1

D)-2 e 2

E)-1 e 1

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

O valor de y para que a equação do 2º grau: x² + 21yx + 441 = 0 tenha duas raízes reais e iguais, se situa na alternativa d) – 2 ou 2.

⠀

É sabido que o valor do discriminante (ou delta) define as características das raízes da equação. Uma equação quadrática na forma ax² + bx + c = 0 tem coeficientes a, b, c ∈ ℝ | a ≠ 0. Com eles que calculamos o valor do delta, que é dado por Δ = b² – 4ac.

⠀

Podemos saber se uma equação terá duas raízes reais e diferentes, reais e iguais, ou sem raízes reais apenas com o valor do discriminante. Veja essa representação:

$\\\large\begin{array}{l}\!\!\sf\bullet~~Se~\Delta > 0~\to~x_1 ~e~x_2\in\mathbb{R}~\,|\,~x_1\neq x_2\\\\\sf\bullet~~Se~\Delta=0~\to~x_1 ~e~x_2\in\mathbb{R}~\,|\,~x_1=x_2\\\\\sf\bullet~~Se~\Delta < 0~\to~x_1 ~e~x_2\notin\mathbb{R}\end{array}\\\\$

A equação proposta dessa questão se apresenta abaixo:

$\Large\qquad\boldsymbol{\begin{array}{l}\sf x^2+21yx+441=0\end{array}}\\\\$

Identificando os seus coeficientes: a = 1, b = 21y e c = 441. Assim, se desejamos calcular y de modo que tenhamos duas raízes reais e iguais, então o discriminante dessa equação deve ser nulo:

$\\\large\begin{array}{l}\sf\Delta=0\\\\\sf b^2-4ac=0\\\\\sf (21y)^2-4\cdot1\cdot441=0\\\\\sf441y^2-1764=0\\\\\sf441y^2=1764\\\\\sf y^2=\dfrac{1764}{441}\\\\\sf y^2=4\\\\\sf y=\sqrt{4}\\\\\sf |y|=2\\\\\sf y=\pm~2\\\\\!\boldsymbol{\boxed{\sf y_1=-\,2~\vee~y_2=2}}\end{array}\\\\$

Portanto, a equação proposta terá duas raízes reais se, e somente se, y for igual a – 2, ou se y for igual a 2. Assim, a alternativa d) – 2 ou 2 responde a questão.

⠀

$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$