Question

Calcule o valor de x sabendo que o triângulo ABC é retângulo em C e que A (2,2), B (4,-12) e C (-4,x)? R: -6 ou -4

Answer 1

Se é um triângulo retângulo, podemos usar Pitágoras.
h² = c² + c²

a hipotenusa será a distância entre A e B, um dos catetos será a distância entre A e C e o outro cateto será a distância entre B e C.

distância entre dois pontos:
$d = \sqrt{( {x }^{..} - {x}^{.})^{2} + {( {y}^{..} - {y}^{.}) }^{2} }$

Jogando essas distâncias na fórmula de Pitágoras, nosso cálculo ficará assim:

${( \sqrt{ {(4 - 2)}^{2} + {( - 12 - 2)}^{2} })}^{2} = {( \sqrt{ {( - 4 - 2)}^{2} + {(x - 2)}^{2} }) }^{2} + {( \sqrt{ {( - 4 - 4)}^{2} + {(x - ( - 12))}^{2} } )}^{2}$

Vamos simplificar as raízes com os quadrados dos dois lados.


${(4 - 2)}^{2} + {( - 12 - 2)}^{2} = {( - 4 - 2)}^{2} + {(x - 2)}^{2} + {( - 4 - 4)}^{2} + {(x + 12)}^{2}$

Agora basta calcularmos.


${2}^{2} + {( - 14)}^{2} = {( - 6)}^{2} + {(x - 2)}^{2} + {( - 8)}^{2} + {(x + 12)}^{2} \\ \\ 4 + 196 = 36 + {x}^{2} - 4x + 4 + 64 + {x}^{2} + 24x + 144 \\ \\ 200 = 2 {x}^{2} + 20x + 248 \\ \\ 0 = 2 {x}^{2} + 20x + 248 - 200 \\ \\ 2 {x}^{2} + 20x + 48 = 0 \\ \\ dividir \: por \: 2 \: nos \: dois \: lados \\ \\ {x}^{2} + 10x + 24 = 0$



Aqui nós vamos aplicar a fórmula de Baskara:
$\frac{ - b + - \sqrt{ {b}^{2} - 4ac } }{2a}$


$\frac{ - 10 + - \sqrt{ {10}^{2} - 4 \times 1 \times 24 } }{2 \times 1} \\ \\ \frac{ - 10 + - \sqrt{100 - 96} }{2} \\ \\ \frac{ - 10 + - \sqrt{4} }{2} \\ \\ \frac{ - 10 + - 2}{2} \\ \\ {x}^{.} = \frac{ - 10 + 2}{2} = \frac{ - 8}{2} = - 4 \\ \\ {x}^{..} = \frac{ - 10 - 2}{2} = \frac{ - 12}{2} = - 6$


x = -4 ou -6