Question

Calcule o valor de x na equação (k+5). x² - 10x + 3 = 0 para que o produto das raizes seja 3/8​

Answer 1

Resposta:

k = 3

Explicação passo-a-passo:

Modelo de equação do segundo grau

• ax² + bx + c = 0

Sendo a, b e c coeficientes da equação. Observe que a ≠ 0 sempre.

Relação de Girard

Produto das raízes da equação

Considere x' e x" as raízes da equação.

• x' × x" = c/a

Resolução

1) Identificar os coeficientes da equação

(k+5). x² - 10x + 3 = 0

Nessa equação, após comparar com o modelo, percebemos que nossos coeficientes são:

a = k + 5

b = - 10

c = 3

2) Escrever a relação de Girard

O produto das raízes é calculado por:

x' × x" = c/a

Substituindo:

x' × x" = 3/(k+5)

3) Utilizar dado do enunciado

Mas note que o enunciado diz que o produto das raízes é igual a 3/8. Logo, x' × x" = 3/8. Igualando:

$\frac{3}{k + 5} = \frac{3}{8}$

Você pode fazer meio por extremos. Mas já de cara, percebemos que k + 5 é igual a 8, né? Afinal, os numeradores são iguais.

k + 5 = 8

k = 8 - 5

k = 3

Embora você tenha pedido o valor de x, entendi que na verdade você queria o valor do parâmetro, ou seja, do k. Se for isso, corrige a pergunta, se puder, pra não confundir outro o usuário.

Mas caso você quisesse encontrar as raízes:

4) Encontrar as raízes

Substituindo o valor de k:

(3+5). x² - 10x + 3 = 0

8x² - 10x + 3 = 0

Calculando por Bhaskara:

• ∆ = b² - 4ac

∆ = (-10)² - 4 × 8 × 3

∆ = 100 - 96

∆ = 4

• x = (-b ± √∆)/2a

x = (-(-10) ± √4)/(2 × 8)

x = (+10 ± 2)/16

x' = (10+2)/16 = 12/16 = 3/4

x" = (10-2)/16 = 8/16 = 1/2

Note que, multiplicando as raízes, temos que: 3/4 × 1/2 = 3/8, como queríamos demonstrar.

Logo,

x' = 3/4

x" = 1/2