Question

calcule o valor de x na equacao 1+3+5+....+x=100, sabendo que o primeiro membro e uma Pa

Answer 1

Resposta:

A sequência 1 + 3 + 5 + .... + x = 100 é uma progressão aritmética.

$\sf a_1 = 1$

$\sf a_2 = 3$

$\sf r = a_2 - 3_1 = 2$

$\sf a_n = x$

termo geral de uma progressão aritmética:

$\sf a_n = a_1 + (n -\:1) \cdot r$

Resolução:

$\sf a_n = 1 + (n -\:1) \cdot 2$

$\sf a_n = 1 + 2n - 2$

$\sf a_n = 2n - 1$

A soma dos termos de uma progressão aritmética:

$\sf S_n = \dfrac{(a_1 +a_n) \cdot n}{2}$

$\sf 100 = \dfrac{(1 +2n - 1) \cdot n}{2}$

$\sf (2n) \cdot n = 2 \cdot 100$

$\sf 2n^2 = 200$

$\sf n^2 = \dfrac{200}{2}$

$\sf n^2 = 100$

$\sf n = \sqrt{100}$

$\boldsymbol{ \sf \displaystyle n = 10 }$

Determinar o valor de x:

$\sf x = a_n$

$\sf x = 2n -\: 1$

$\sf x = 2 \cdot 10 -\: 1$

$\sf x = 20 -\: 1$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \sf \displaystyle x = 19 }}} \quad \gets \mathbf{ Resposta }$

Provar a soma PA:

$\sf S_n = \dfrac{(a_1 +a_n) \cdot n}{2}$

$\sf S_{10} = \dfrac{(1 +19) \cdot 10}{2}$

$\sf S_{10} = \dfrac{20 \cdot 10}{2}$

$\sf S_{10} = \dfrac{200}{2}$

$\boldsymbol{ \sf \displaystyle S_n = 100 }$

Explicação passo-a-passo: