Question

calcule o valor de x em cada logaritmo: a) log4 128 = x b) log4 (2x + 6) = 3

preciso da resolução ​

Answer 1

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O valor de x em cada igualdade é:

• a) x = 7/2
• b) x = 29

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⠀⠀De antemão, é preciso saber que um logaritmo é dado por logₐ b = c, onde a: base, b: logaritmando e c: resultado (também chamado de logaritmo), onde a, b ∈ ℝ com as condições de existência: 0 < a ≠ 1 e b > 0.

⠀⠀O cálculo de equações logarítmicas é simples, basta tencionar-se aos detalhes. Nas resoluções usamos bastante a definição dos logaritmos, onde logₐ b = c ⇔ aᶜ = b, ou seja, o logaritmo de um número ''b'' numa base ''a'' é igual a ''c'' se, e somente se, ''a'' elevado a ''c'' for igual a ''b''. Vamos colocar isso em prática nas equações dadas:

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a) log₄ 128 = x

Pela definição supraexposta, temos:

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$\begin{array}{l}\implies~~~~\sf log_4\,128=x\\\\\\\sf\implies~~~~4^x=128\\\\\\\sf\implies~~~~\big(2^2\big)^x=2^7\\\\\\\sf \implies~~~~2^{2x}=2^7\\\\\\\sf\implies~~~~2x=7\\\\\\\implies~~~~\!\boxed{\sf x=\dfrac{7}{2}}\end{array}$

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b) log₄ (2x + 6) = 3

⠀⠀Antes de tudo vamos impor uma condição para x, uma vez que ele influência o valor do logaritmando. É sabido que o logaritmando deve ser positivo, logo: 2x + 6 > 0, ∴ x > – 3. Assim, x deve ser restritamente maior que – 3.

⠀⠀Retornando, pela definição dos logaritmos temos:

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$\begin{array}{l}\implies~~~~\sf log_4\,(2x+6)=3\\\\\\\sf\implies~~~~4^3=2x+6\\\\\\\sf\implies~~~~64=2x+6\\\\\\\sf \implies~~~~2x=64-6\\\\\\\sf\implies~~~~2x=58\\\\\\\sf\implies~~~~x=\dfrac{58}{2}\\\\\\\implies~~~~\!\boxed{\sf x=29}\end{array}$

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⠀⠀Tudo ok, posto que x > – 3 e o resultado encontrado satisfaz essa condição.

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                           $\large\boldsymbol{\mathsf{-x-}~~Q\upsilon es\tau\alpha\theta~f\iota\eta\alpha l\iota z\alpha\delta\alpha~~\mathsf{-x-}}$

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$\!\!\!\!\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}}$

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                       $\large\boldsymbol{B\theta\eta s~\epsilon s\tau\upsilon\delta\theta s~\epsilon~\upsilon m~cor\delta\iota\alpha l~\alpha \beta r\alpha c_{\!\!\!,}\,\theta!}$