Question

Calcule o valor de x e y nas figuras abaixo.

Answer 1

Primeiro olhando para o triângulo maior. Vamos calcular o cateto adjascente:

$cos(30^{o}) = \frac{c.a.}{40} \\ c.a. = 40 \cdot cos(30^{o}) = 40 \cdot \frac{\sqrt[2]{3}}{2} = 20 \cdot \sqrt[2]{3}$

Agora olhando para o triângulo menor:

$tan(60^{o}) = \frac{y}{x} \\ tan(60^{o}) = \frac{\frac{\sqrt[2]{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt[2]{3}}{2} \cdot \frac{2}{1} = \sqrt[2]{3} \\ y = \sqrt[2]{3} \cdot x$

Se você perceber, a linha que divide o triângulo maior em dois forma uma bissetriz.

A propriedade da bissetriz diz que:

$\frac{40}{20 \cdot \sqrt[2]{3} - x} = \frac{y}{x} \\ \frac{40}{20 \cdot \sqrt[2]{3} - x} = \frac{\sqrt[2]{3} \cdot x}{x} = \sqrt[2]{3} \\ 40 = \sqrt[2]{3} \cdot (20 \cdot \sqrt[2]{3} - x) \\ 40 = 20 \cdot 3 - \sqrt[2]{3} \cdot x \\ 40 -60 = -\sqrt[2]{3} \cdot x \\ \boxed{x = \frac{-20}{-\sqrt[2]{3}} = \frac{20}{\sqrt[2]{3}}}$

O valor de y é:

$\boxed{y = \sqrt[2]{3} \cdot \frac{20}{\sqrt[2]{3}} = 20}$

Exercício B)

Primeiro vamos encontrar a hipotenusa do triângulo maior:

$cos(30^{o}) = \frac{600}{hip} \\ hip = \frac{600}{\frac{\sqrt[3]{2}}{2}} = 600\cdot \frac{2}{\sqrt[2]{3}} = \frac{1200}{\sqrt[2]{3}}$

Olhando agora para os lados do triângulo menor:

$tan(60^{o}) = \frac{x}{y} \\ x = y \cdot \sqrt[2]{3}$

Ainda temos uma bissetriz ou seja:

$\frac{\frac{1200}{\sqrt[2]{3}}}{(600 - y)}= \frac{x}{y} \\ \frac{1200}{\sqrt[2]{3}} \cdot \frac{1}{(600 - y)} = \frac{y \cdot \sqrt[2]{3}}{y} \\ \frac{1200}{600 \cdot \sqrt[2]{3} - y \cdot \sqrt[2]{3}} =\sqrt[2]{3} \\ 1200 = \sqrt[2]{3} \cdot (600 \cdot \sqrt[2]{3} - y \cdot \sqrt[2]{3}} \\ 1200 = 600 \cdot 3 - 3 \cdot y \\ 1200 - 1800 = -3 \cdot y \\ \boxed{y = \frac{-600}{-3} = 200}$

Agora o valor de x:

$\boxed{x = 200 \sqrt[2]{3}}$