Question

Calcule o valor de x e a quantidade de termos da PG (2x,8x,...512x),sabendo que assim a soma dos seus termos é -1364

Answer 1

Olá.

Para calcular, devemos usar o termo geral da P.G e a fórmula para cálculo da soma dos termos, além do conceito de razão (q). Demonstro tudo abaixo.

$\underline{\mathsf{S_n=\dfrac{a_1(q^n-1)}{q-1}}}\\\\\\\underline{\mathsf{a_n=a_1\cdot q^{n-1}}}\\\\\\\underline{\mathsf{q=\dfrac{a_n}{a_{n-1}}}}$

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Vamos aos cálculos, substituindo valores.

$\mathsf{q=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{8x}{2x}=4}$

$\mathsf{a_n=a_1\cdot q^{n-1}}\\\\\mathsf{512x=2x\cdot4^{n-1}}\\\\\mathsf{\dfrac{512x}{2x}=4^{n-1}}\\\\\mathsf{256=4^{n-1}}\\\\\mathsf{256=4^{n-1}}\\\\\mathsf{4^4=4^{n-1}}$

Tendo bases iguais, podemos focar apenas no expoentes.

$\mathsf{4=n-1}\\\\\mathsf{4+1=n}\\\\\mathsf{5=n}$

São 5 termos. Agora, vamos substituir valor no cálculo da soma dos termos.

$\mathsf{S_n=\dfrac{a_1(q^n-1)}{q-1}}\\\\\\\mathsf{S_5=\dfrac{2x(4^5-1)}{4-1}}\\\\\\\mathsf{-1.364=\dfrac{2x(1.024-1)}{3}}\\\\\\\mathsf{-1.364\cdot3=2x(1.023)}\\\\\mathsf{-4.092=2.046x}\\\\\mathsf{\dfrac{-4.092}{2.046}=x}\\\\\boxed{\mathsf{-2=x}}$

O valor de x é: -2;
A quantidade de termos é: 5.

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.
Bons estudos.