Question

Calcule o valor de

$\mathsf{A=\dfrac{1001\cdot1002\cdot1003\cdot...\cdot2000}{1\cdot3\cdot5\cdot7\cdot...\cdot1999}}$ ​

Answer 1

Resposta:   $A=2^{1000}.$

Explicação passo a passo:

A proposta desta tarefa é simplificar a expressão usando completamento de fatoriais.

Escrevamos a expressão como

     $A=\dfrac{N}{D}=N\cdot \dfrac{1}{D} \qquad\mathrm{(i)}$

sendo

     $N=1001\cdot 1002\cdot 1003\cdot\ldots\cdot 2000\qquad\mathrm{(ii)}$

     $D=1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot 1999\qquad\mathrm{(iii)}$

Manipularemos separadamente o numerador e o denominador.

Oberserve em (ii) que para completar $2000!,$ está faltando o produto dos naturais de 1 a 1000, ou seja, $1000!.$ Multiplicando e dividindo $N$ por

     $1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot 999\cdot 1000=1000!$

a expressão (ii) fica

     $\Longleftrightarrow\quad N=\dfrac{1000! \cdot (1001\cdot 1002\cdot 1003\cdot\ldots\cdot 2000)}{1000!}\\\\ \Longleftrightarrow\quad N=\dfrac{2000!}{1000!}\qquad\mathrm{(iv)}$

Por outro lado, em (iii) temos o produto dos naturais ímpares menores que 2000. Para completar $2000!,$ está faltando o produto dos naturais pares de 2 a 2000, que é dado por

     $2\cdot 4\cdot 6\cdot\ldots\cdot 1998\cdot 2000\\\\ =(2\cdot 1)\cdot (2\cdot 2)\cdot (2\cdot 3)\cdot\ldots\cdot (2\cdot 999)\cdot (2\cdot 1000)$

Reagrupe os fatores 2:

     $=(\underbrace{2\cdot 2\cdot\ldots\cdot 2} _{1000\mathrm{~fatores}})\cdot (1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot 999\cdot 1000)\\\\ =2^{1000}\cdot 1000!\qquad\mathrm{(v)}$

Multiplicando e dividindo pelo produto dos pares de 2 a 2000, que é igual a $2^{1000}\cdot 1000!,$ a expressão (iii) fica

     $\Longleftrightarrow\quad D=\dfrac{(2^{1000}\cdot 1000!)\cdot (1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot 1999)}{2^{1000}\cdot 1000!}\\\\ \Longleftrightarrow\quad D=\dfrac{2000!}{2^{1000}\cdot 1000!}\qquad\mathrm{(vi)}$

Substituindo as expressões (iv) e (vi), a expressão (i) fica

     $\Longleftrightarrow\quad A=\dfrac{2000!}{1000!}\cdot\dfrac{1}{~\frac{2000!}{2^{1000}\cdot 1000!}~}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad A=\dfrac{2000!}{1000!}\cdot \dfrac{2^{1000}\cdot 1000!}{2000!}\\\\ \Longleftrightarrow\quad A=2^{1000}\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}$

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Bons estudos! :-)