Calcule o valor de 
Soluções para a tarefa
Respondido por
1
Calcule o valor de
( 1 + i )^2 ==> 1 + 2i + i^2 ==> 1 +2i - 1 ==> 2i
O expoente é maior que 4 , dividmos por 4 e o resto será o novo expoente
30 4
2 7
mariavasconcel0s:
obrigada!!
Isso funciona com unidade?
O resto da divisão por 4 só funciona com as potências de i, a unidade imaginária.
Mas não funciona com potências de (1+i)...
Respondido por
1
Primeiramente devemos observar uma coisa. Para qualquer número inteiro 
, vale que
ou seja, as potências para calcular as potências de
, basta tomar o resto da divisão inteira do expoente de por 
.
E quanto a
?
Observe que
![\left(1+i \right )^{30}\\ \\ =\left(1+i \right )^{2\, \cdot\, 15}\\ \\ =\left[\;\left(1+i \right )^{2}\; \right ]^{15}\\ \\ =\left[\;1^{2}+2i+i^{2}\; \right ]^{15}\\ \\ =\left[\;1+2i-1\; \right ]^{15}\\ \\ =\left[\;2i\; \right ]^{15}\\ \\ =2^{15}\cdot i^{15}\\ \\ =2^{15} \cdot i^{4\,\cdot\,3+3}\\ \\ =2^{15} \cdot i^{3}\\ \\ =2^{15} \cdot \left(-i \right )\\ \\ =-2^{15}i\\ \\ =-32\,768i\\ \\ \\ \boxed{\left(1+i \right )^{30}=-32\,768i}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%281%2Bi+%5Cright+%29%5E%7B30%7D%5C%5C+%5C%5C+%3D%5Cleft%281%2Bi+%5Cright+%29%5E%7B2%5C%2C+%5Ccdot%5C%2C+15%7D%5C%5C+%5C%5C+%3D%5Cleft%5B%5C%3B%5Cleft%281%2Bi+%5Cright+%29%5E%7B2%7D%5C%3B+%5Cright+%5D%5E%7B15%7D%5C%5C+%5C%5C+%3D%5Cleft%5B%5C%3B1%5E%7B2%7D%2B2i%2Bi%5E%7B2%7D%5C%3B+%5Cright+%5D%5E%7B15%7D%5C%5C+%5C%5C+%3D%5Cleft%5B%5C%3B1%2B2i-1%5C%3B+%5Cright+%5D%5E%7B15%7D%5C%5C+%5C%5C+%3D%5Cleft%5B%5C%3B2i%5C%3B+%5Cright+%5D%5E%7B15%7D%5C%5C+%5C%5C+%3D2%5E%7B15%7D%5Ccdot+i%5E%7B15%7D%5C%5C+%5C%5C+%3D2%5E%7B15%7D+%5Ccdot+i%5E%7B4%5C%2C%5Ccdot%5C%2C3%2B3%7D%5C%5C+%5C%5C+%3D2%5E%7B15%7D+%5Ccdot+i%5E%7B3%7D%5C%5C+%5C%5C+%3D2%5E%7B15%7D+%5Ccdot+%5Cleft%28-i+%5Cright+%29%5C%5C+%5C%5C+%3D-2%5E%7B15%7Di%5C%5C+%5C%5C+%3D-32%5C%2C768i%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C+%5Cboxed%7B%5Cleft%281%2Bi+%5Cright+%29%5E%7B30%7D%3D-32%5C%2C768i%7D "\left(1+i \right )^{30}\\ \\ =\left(1+i \right )^{2\, \cdot\, 15}\\ \\ =\left[\;\left(1+i \right )^{2}\; \right ]^{15}\\ \\ =\left[\;1^{2}+2i+i^{2}\; \right ]^{15}\\ \\ =\left[\;1+2i-1\; \right ]^{15}\\ \\ =\left[\;2i\; \right ]^{15}\\ \\ =2^{15}\cdot i^{15}\\ \\ =2^{15} \cdot i^{4\,\cdot\,3+3}\\ \\ =2^{15} \cdot i^{3}\\ \\ =2^{15} \cdot \left(-i \right )\\ \\ =-2^{15}i\\ \\ =-32\,768i\\ \\ \\ \boxed{\left(1+i \right )^{30}=-32\,768i}")
ou seja, as potências para calcular as potências de
E quanto a
Observe que
Tu tem que pôr sempre um produto que dê igual ao numero a que (1+i) está sendo elevado?
Não tem que.... O fato aqui é que colocando o 2 em evidência no expoente de (1+i), o cálculo sai sem grande esforço. Observe o que acontece quando se eleva (1+i) ao quadrado dentro dos colchetes
Então se fosse (i+1)^8, por exemplo, teria que ficar [(i+1)^2]^4?
Exatamente, essa seria uma forma de resolver
Obrigada, de verdade!
Por nada! Qualquer dúvida pode falar
Perguntas interessantes