Question

calcule o valor de:

tan22°30'

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

22º30'=$\frac{45}{2}$

Basta agora usar a fórmula do arco metade para a tangente:

$tan(\frac{x}{2})=\sqrt{\frac{1-cosx}{1+cosx}}$

$cos45=\frac{\sqrt{2} }{2}$

$tan(\frac{45}{2})=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2} }{2} }{1+\frac{\sqrt{2} }{2} } }=\sqrt{\frac{\frac{2-\sqrt{2} }{2} }{\frac{2+\sqrt{2} }{2} } } =\sqrt{\frac{2-\sqrt{2} }{2+\sqrt{2} } }$

$tan(\frac{45}{2})=\sqrt{\frac{(2-\sqrt{2})(2-\sqrt{2}) }{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} } =\sqrt{\frac{4-2.2.\sqrt{2}+2 }{4-2} } =\sqrt{\frac{6-4\sqrt{2} }{2} } =\sqrt{3-2\sqrt{2} }$

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Raquel, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para calcular o valor de tan(22º30'). Note que tan(22º30') é a mesma coisa que tan(22,5º), pois 30' correspondem a 0,5º. Logo: 22º30' = 22,5º. Assim, queremos encontrar o valor da seguinte expressão:

tan(22,5º) ------ agora note que 22,5º é a mesma coisa que 45º/2. Então estaremos procurando o valor da seguinte expressão:

tan(45º/2) .

ii) Agora note isto e não esqueça mais: da mesma forma que temos fórmulas específicas para o cálculo de arcos duplos, como sen(2x), cos(2x) e tan(2x), também temos fórmulas específicas para calcular arcos-metade, que são dadas da seguinte forma:

sen(x/2) = ± √[(1-cos(x))/2]     . (I).

cos(x/2) = ± √[1+cos(x))/2]     . (II).

tan(x/2) = ± √[(1-cos(x))/(1+cos(x))]     . (III).

iii) Assim, vamos utilizar a expressão (III) acima para calcular o valor pedido, que é este:

tan(45º/2) = ± √[(1-cos(45º))/(1+cos(45º))] ----- mas como o arco de  45º/2 pertence ao primeiro quadrante, local em que todas as funções trigonométricas são positivas, então poderemos "dispensar" o sinal de "±" antes do radical, pois já sabemos que o resultado vai ser positivo. Logo, teremos:

tan(45º/2) = √[(1-cos(45º))/(1+cos(45º))] ---- como cos(45º) = √(2)/2, iremos ficar assim:

tan(45º/2) = √[(1 - √(2)/2)/(1 + √(2)/2)] ----- "arrumando" o que está dentro do primeiro radical, ficaremos com (note que vamos utilizar o mmc tanto no numerador do radicando como no denominador do radicando):

tan(45º/2) = √[(2*1-√(2))/2 / (2*1+√(2))/2] ----- desenvolvendo, ficamos:

tan(45º/2) = √[(2-√(2))/2 / (2+√(2))/2] ----- veja que temos aqui uma divisão de frações. Regra: conserva-se a primeira fração como está e multiplica-se pelo inverso da segunda. Assim:

tan(45º/2) = √[(2-√(2))/2 * (2/(2+√(2))] ---- simplificando-se "2" do numerador com "2" do denominador, iremos ficar apenas com:

tan(45º/2) = √[(2-√(2))/(2+√(2))] ---- para racionalizar o radicando (que é o que está dentro do radical principal) vamos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que vai ser "2-√(2)". Assim, fazendo isso, teremos:

tan(45º/2) = √[(2-√(2))*(2-√(2))/(2+√(2))*(2-√(2))] ---- efetuando os produtos indicados, ficaremos com:

tan(45º/2) = √[(4-4√(2)+√(2)²) / (2² - √(2)²)] ---- desenvolvendo, temos:

tan(45º/2) = √[(4-4√(2)+2) / (4 - 2)] --- continuando o desenvolvimento:

tan(45º/2) = √[6-4√(2)) / 2] ---- simplificando-se cada fator do numerador do radicando pelo denominador "2", iremos ficar apenas com:

tan(45º/2) = √[3-2√(2)] <---- Esta é a resposta. Ou seja, este será o valor pedido da tangente do arco de 22º30'. Se você quiser um valor apenas aproximado, então veja que como √(2) = "1,414" aproximadamente, então ficaríamos assim:

tan(45º/2) = √(3 - 2*1,414) ---- desenvolvendo, teremos:

tan(45º/2) = √(3 - 2,828) --- continuando o desenvolvimento, temos:

tan(45º/2) = √(0,172) ---- e finalmente veja que √(0,172) é "0,415" (bem aproximado). Logo:

tan(45º/2) = 0,415 aproximadamente <--- Esta seria a resposta aproximada se você quisesse saber qual seria ela.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

Ok?

Adjemir.