Question

Calcule o valor de S= ㏒₄2¹+㏒₄2³+㏒₄2⁵+...+㏒₄2⁹⁹⁹

A resposta tem que dar 125 000

Answer 1

Resposta:

S=125000

Explicação passo-a-passo:

S= ㏒₄2¹+㏒₄2³+㏒₄2⁵+...+㏒₄2⁹⁹⁹

S= ㏒₄2+3㏒₄2+5㏒₄2+...+999㏒₄2

É uma P.A. com razão 2, começando em 1 e terminando em 999, temos que fazer a soma delas:

sn=a1+(n-1).r

999=1+2n-2

999=-1+2n

2n=1000

n=500

O último termo é o 500º.

Sn=[(a1+an).n]/2

S500=[(1+999).500]/2

S500=1000.250=250000

S=250000㏒₄2

Log4(2)=x

4^(x)=2

(2²)^x=2^(1)

2^(2x)=2^(1)

Igualando os expoentes:

2x=1

x=1/2

S=250000.1/2

S=125000

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Inicialmente vamos calcular

$log_42=\dfrac{1}{2}$

$S=log_42^{1}+log_42^{3}+log_42^{5}+...+log_42^{999}$

Propriedade

$log_ax^{y}=y.log_ax$

$S=1.log_42+3.log_42+5.log_42+...+999.log_42$

Colocando $log_42$ em evidência

$S=(1+3+5+...+999).log_42$

Entre parêntesis temos a soma de uma PA onde

$a_1=1\\a_n=999\\r=2\\\\a_n=a_1+r.(n-1)\\\\999=1+2(n-1)\\\\2(n-1)=999-1\\\\2(n-1)=998\\\\n-1=\dfrac{998}{2}\\\\n=499+1\\\\n=500$

Agora podemos calcular  a soma entre parentesis

$(1+3+5+...+999)=\dfrac{(1+999).500}{2}=1000.250=250000$

Agora é só substituir em S

$S=(1+3+5+...+999).log_42\\\\\\S=250000.\dfrac{1}{2} \\\\\\S=125000$