Question

Calcule o valor de p na equação x² – (p + 5)x + 36 = 0, de modo que as raízes reais sejam iguais.Assinale a alternativa CORRETA: A) (5, 5). B) (7, -17). C) (5, 25). D) (0, 5).

Answer 1

✅ Após ter resolvido todos os cálculos, concluímos que os possíveis valores para "p" estão contidos no conjunto solução:

          $\large\displaystyle\begin{gathered}S = \{-17, 7\} \end{gathered}$

Portanto, a opção correta é:

         $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Letra\:B\:\:\:}} \end{gathered} }$

Seja a equação do segundo grau - equação quadrática:

     $\large\displaystyle\begin{gathered}x^{2} - (p + 5)x + 36 = 0 \end{gathered}$

Cujos coeficientes são:

             $\large\begin{cases}a = 1\\b = -(p + 5) = -p - 5\\c = 36 \end{cases}$

Para que as raízes da equação sejam iguais é necessário que o valor do delta seja igual a "0"

                                      $\large\displaystyle\begin{gathered}\Delta = 0 \end{gathered}$

                    $\large\displaystyle\begin{gathered}b^{2} - 4\cdot a \cdot c = 0 \end{gathered}$

     $\large\displaystyle\begin{gathered}(-p - 5)^{2} - 4\cdot1\cdot36 = 0 \end{gathered}$

      $\large\displaystyle\begin{gathered}p^{2} + 10p + 25 - 144 = 0 \end{gathered}$

                $\large\displaystyle\begin{gathered}p^{2} + 10p - 119= 0 \end{gathered}$

Calculando o valor do delta, temos:

           $\large\displaystyle\begin{gathered}\Delta = 10^{2} - 4\cdot 1\cdot(-119) \end{gathered}$

                $\large\displaystyle\begin{gathered}= 100 + 476 \end{gathered}$

                $\large\displaystyle\begin{gathered}= 576 \end{gathered}$

         $\large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:\Delta = 576 \end{gathered}$

Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:

         $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}p = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2\cdot a} \end{gathered} }$

             $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{-10\pm\sqrt{576}}{2\cdot 1} \end{gathered} }$

             $\large\displaystyle\begin{gathered}= \frac{-10\pm24}{2} \end{gathered}$

Obtendo-se as raízes, temos:

      $\Large\begin{cases}p' = \frac{-10 - 24}{2} = \frac{-34}{2} = -17\\p'' = \frac{-10 + 24}{2} = \frac{14}{2} = 7\end{cases}$

✅ Portanto, o conjunto solução é:

              $\large\displaystyle\begin{gathered}S = \{-17, 7\} \end{gathered}$

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