Question

Calcule o valor de p na equação x2 - (p + 5) x + 20 = 16, de modo que às raizes reais sejam iguais

Answer 1

Resposta:

p = -1 e p = -9

Explicação passo-a-passo:

Quando as raízes reais são iguais, isso significa que só temos uma raiz real, no fim das contas. Portanto, nosso ∆ = 0

Observe nossa equação:

x² - (p+5)x + 20 = 16

Organizando:

x² - (p+5)x + 20 -16 = 0

• x² - (p+5)x + 4 = 0

Está é uma equação do segundo grau, cujos coeficientes são:

a = 1

b = p + 5

c = 4

∆ = (p +5)² - 4 × 1 × 4

Só que: ∆ = 0

Então:

p² + 2 × p × 5 + 5² -16 = 0

p² - 10p + 25 - 16 = 0

p² - 10p + 9 = 0

Note que nosso ∆ virou outra equação do segundo grau. Vamos resolver, sabendo que:

a' = 1

b' = -10

c' = 9

∆' = (-10)² - 4 × 1 × 9

∆' = 100 - 36

∆' = 64

p = (-b' ± √∆')/2a'

Note que todos esses linhas são apenas para você saber que não estamos falando dos coeficientes da equação com x, ok?

p = (-10 ± √64) /2×1

p = (-10±8)/2

p' = (-10+8)/2

p' = -2/2

• p' = -1

p" = (-10-8)/2

p" = -18/2

• p" = -9

Vamos "tirar a prova":

p = -1:

x² - (-1 +5)x +4 = 0

x² - (4x)+ 4 = 0

x² -4x + 4 = 0

∆ = (-4)² - 4 × 1 × 4

∆ = 16 - 16

∆ = 0

Ou seja, p = -1 é um parâmetro correto.

p = -9:

x² - (-9+5)x + 4 = 0

x² - (-4)x + 4 = 0

x² + 4x + 4 = 0

∆ = 4² - 4 × 1 × 4

∆ = 16 - 16

∆ = 0

Portanto, as duas raízes satisfazem a condição pedida no problema.