Question

Calcule o valor de N para que a soma dos N primeiros termos da progressão aritmética (0,2,4,6,...) seja igual a 2070.

Answer 1

Bom dia {...}

Vamos lá!

Abordando o problema:

O problema trata sobre progressão aritmética definida como:

$P\,A: ( a_{1}+a_{2} +a_{3} + \ldots +a_{n} + \ldots)$

Também vale salientar as seguintes fórmulas da PA:

Esta fórmula permite encontrar quaisquer número dentro da sequência:

$a_{n}=a_{1}+(n-1)\times r$

Permite calcular a soma de uma PA:

$S_{n}=\frac{(a_{1}+a_{n})\times n}{2}$

Resolução:

É dito que a soma da PA até um número $a_{n}$ é igual a $2070$

e a razão é igual a 2 ($r=2$):

Teremos:

$2070=\frac{(0+a_{n})\times n}{2}$

Multiplicando meios pelos extremos:

$4140=(a_{n})\times n$

É sabido que ${\color{Blue}a_{n}=a_{1}+(n-1)\times r}$;

Substituindo na fórmula:

$4140=[a_{1}+(n-1)\times r] \times n$

$4140=\begin{matrix}\underbrace{[0+(n-1)\times 2]}\\2n-n\end{matrix}\times n$

$4140=(2n-2)\times n \Rightarrow 2n^{2}-2n-4140=0$

Simplificando:

$n^{2}-n-2070=0$

Coeficientes:

$a=1, \quad b=-1 \quad e\quad c=-2070$

$\Delta=(-1)^{2}-4\times (1) \times (-2070) \Rightarrow \Delta=8{,}281$

Calculando $n$:

$n=\frac{-(-1) \pm \sqrt{8{,}281}}{2\times 1}$

$n=\frac{1 \pm 91}{2}$

$n'=\frac{1+91}{2}=46$

$n''=\frac{1-91}{2}=-45$

Logo, às raízes são:

$[n']=46 \quad e \quad [n'']=-45$

Como se trata de uma PA crescente, só nos interessa o valor positivo:

$a_{46}=0+(46-1)\times 2$

$a_{46}=45\times 2 \Rightarrow a_{46}=90$

Portanto $a_{n}$ será igual $90$ e $n$ igual a $46$

Abraço cordial e bons estudos!!!