Question

calcule o valor de n nas sentenças:


a) 5.(n-3)!+5.(n-1)!!=31.(n-2)!
b) (n+3)!/(n+1)! - (n+2)!/n!=20​

Answer 1

Resposta:

5(n−3)!+5(n−1)!=31(n−2)!

5(n−3)!+5(n−1)(n−2)(n−3)!=31(n−2)(n−3)!÷[(n−3)!

5+5(n−1)(n−2)=31(n−2)

5[1+(n−1)(n−2)]=31(n−2)

5(1+n

2

−3n+2)=31n−62

5n

2

−15n−31n+15+62=0

5n

2

−46n+77=0

Δ=2116−1540

Δ=576

x=

10

46±

576

⎩

⎪

⎨

⎪

⎧

x

′

=

10

46+24

⇒

x

′

=7

x

′′

=

10

46−24

⇒x

′′

=2,2

Answer 2

Resposta:  

a ) S = { 7 }

b ) S = { 8 }  

Explicação passo-a-passo:

a) 5 * ( n - 3 ) ! + 5 * ( n - 1 ) ! = 31 * ( n - 2 ) !

Antes de começar a ler a resolução , leia as Observações que estão no fim.

Para resolver esta equação é necessário ter a noção que quando temos,

por  exemplo

5! = 5 * ( 5 - 1 ) ! = 5 * 4 !

chama-se a isto baixar o fatorial.

Verificação:

5 ! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120

Como 4 ! = 4 * 3 * 2 * 1

5 * 4 ! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120     verificado e correto

5 * ( n - 3 ) ! + 5 * ( n - 1 ) ! = 31 * ( n - 2 ) !

O fatorial mais pequeno é ( n - 3 ) !

Por isso vamos desenvolver o ( n - 1 ) ! e o ( n - 2 ) ! até chegarmos a ( n - 3 ) !

5 * ( n - 3 ) ! + 5 * ( n - 1 ) ! = 31 * ( n - 2 ) !

5 * ( n - 3 ) ! + 5 * ( n - 1 ) * ( n - 1 - 1 ) ( n - 1 - 1 - 1 ) ! = 31 * ( n - 2 ) ( n - 2 - 1 ) !

5 * ( n - 3 ) ! + 5 * ( n - 1 ) * ( n - 2 ) ( n - 3 ) ! = 31 * ( n - 2 ) ( n - 3 ) !

Cálculos auxiliares:

Temos nesta equação três termos :

5 * ( n - 3 ) !

5 * ( n - 1 ) * ( n - 2 ) ( n - 3 ) !

31 * ( n - 2 ) ( n - 3 ) !

Que, fora de parêntesis, só têm multiplicações .

Por este fato podemos dividir cada um deles por ( n - 3 ) ! , que é o fator

comum a todos estes termos.

Deste modo

( 5 * ( n - 3 ) ! ) / (n - 3 ) ! = 5

porque ( n - 3 ) ! do numerador cancela-se com ( n - 3 ) ! no denominador

O mesmo para os outros dois termos.

[ 5 * ( n - 1 ) * ( n - 2 ) ( n - 3 ) ! ] / ( n - 3 ) ! = 5 * ( n - 1 ) * ( n - 2 )

[ 31 * ( n - 2 ) ( n - 3 ) ! ] / ( n - 3 ) ! = 31 * ( n - 2 )

A equação inicial está transformada em

5 + 5 * ( n - 1 ) * ( n - 2 ) = 31 * ( n - 2 )

Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição

( vulgarmente conhecida pela " regra do chuveirinho " )

5 + ( 5n - 5) * ( n - 2 ) = 31n - 62

5 + 5n² - 10n - 5n + 10 =  31n - 62

Passando os termos do 2º membro para o primeiro, trocando o sinal

5 + 5n² - 10n - 5n + 10 - 31n + 62 = 0

Reduzindo os termos semelhantes e colocando os termos por ordem

decrescente dos expoentes de cada um.

5n² + ( - 10 - 5 - 31 ) * n + 5 + 10 + 62 = 0

5n² - 46n + 77 = 0

É uma equação do grau que se resolve com a Fórmula de Bhaskara

x = ( - b ± √Δ) / (2*a )   com Δ = b² - 4*a*c  , com a , b , c ∈ |R  e  a ≠ 0

a =    5

b = - 46

c =   77

Δ = b² - 4*a*c  

Δ = ( - 46 )² - 4 * 5 *  77  = 576

√Δ = √576 = 24

x1 = ( - ( - 46 ) + 24 ) /( 2 * 5 )

x1 = ( + 46 + 24 ) / 10

x1 = 70 / 10

x1 =  7

x2 = ( - ( - 46 ) - 24 ) / 10

x2 = ( + 46 - 24 ) / 10

x2 = 22/10

simplificando, dividindo numerador e denominador por 2

x2 = 11 / 5  excluir esta solução porque iria dar o fatorial de um número

negativo

Tal não existe.

repare  ( 11/5 - 3 ) ! = ( 11/5 - 15/5 ) ! = ( - 4/5 ) !  não existe  

Porque a incógnita da nossa equação é "n"  apresenta-se o resultado na

forma de n = 7

b) ( n + 3 ) ! / ( n + 1 ) ! - ( n + 2 ) ! / n! = 20​

Cálculos auxiliares

Na primeira fração o fatorial menor é ( n + 1 ) !

Vamos desenvolver ( n + 3 ) ! até chegar a ( n + 1 ) !

Para poder simplificar com o denominador ( n + 1 ) !

( n + 3 ) ! = ( n + 3 ) * ( n + 3 - 1) * ( n + 3 - 1 - 1 ) !

( n + 3 ) ! = ( n + 3 ) * ( n + 2) * ( n + 1 ) !

( n + 3 ) ! / ( n + 1 ) ! = [ ( n + 3 ) * ( n + 2) * ( n + 1 ) ! ] / ( n + 1 ) !

= ( n + 3 ) * ( n + 2)

= n * n + n * 2 + 3 * n + 3 * 2    ( A )

= n² + ( 2 + 3 ) n + 6

= n² + 5n + 6

O mesmo para a fração no termo ( n + 2 ) ! / n!

( n + 2 ) ! / n! = [ ( n + 2 ) * ( n + 2 - 1 ) * ( n + 2 - 1 - 1 ) ! ] / n !

= [ ( n + 2 ) * ( n + 1 ) * n ! ] / n !

= ( n + 2 ) * ( n + 1 )

= n * n + n * 1 + 2 * n + 2 * 1

= n² + ( 1 + 2 ) n + 2

= n² + 3 n + 2

Fim de cálculos auxiliares  

n² + 5n + 6 - (  n² + 3 n + 2  ) = 20

n² + 5n + 6 - n² - 3 n - 2 = 20

os termos em " n² " são simétricos ( = opostos ) por isso cancelam-se mutuamente

( 5 - 3 ) *n + 4 = 20

2 n = 20 - 4

2n  = 16

( 2n ) /2 =  16 / 2

n = 8    

Observação 1 →  ( A ) apliquei a propriedade distributiva da multiplicação e

relação à adição ( vulgarmente conhecida por " regra do chuveirinho )

Observação 2 → Sinal "menos" atrás de parêntesis

Quando existir , o que estiver dentro do parêntesis troca de sinal quando sai.

Observação 3 →  Fatorial

Fatorial de um número natural é a multiplicação desse número por seus

antecessores com exceção do zero.

Para se representar um " fatorial de ..." usamos o símbolo ( ! ) , ponto de

exclamação.

Exemplo:

5 ! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

5 ! = 120

Observação 4 → Existem fatoriais de números negativos, fracionários ou

decimais?

NÃO.

Só de números naturais, que são todos positivos incluindo o zero.

Observação 5 → Fatorial de zero

0 ! = 1

Observação 6 → Antecessor de um número natural

É o número que está imediatamente antes dele.

Antecessor de 5 é o 4 .

Bom estudo

--------------------------------

Sinais: ( * ) multiplicação    ( / ) divisão     ( ! ) símbolo de fatorial de um

número      ( x1 e x2 ) nomes dados às raízes de equação do 2º grau

( ∈ ) pertence a         ( ≠ )  diferente de     ( |R ) conjunto dos números reais