Question

Calcule o valor de m para que:
a) a função f(x) = (m+10)x² + 4x - 7 seja côncava para cima

b) a função f(x) = (5m + 1)x² -2x + 1 seja côncava para baixo

c) a função f(x) = (2m² - 4)x² - 4x + 3 seja quadrática

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Answer 1

Uma função escrita da forma

$f\left(x \right )=ax^{2}+bx+c$

onde $a,\,b,\,c \in \mathbb{R}$

$\bullet\;\;$ é uma função quadrática (isto é, do segundo grau) se, e somente se, $a \neq 0$;

$\bullet\;\;$ possui gráfico com concavidade para cima se, e somente se, $a>0$;

$\bullet\;\;$ possui gráfico com concavidade para baixo se, e somente se, $a<0$.


Note que esta questão envolve análise apenas do coeficiente $a$, do termo $x^{2}$:


Vamos às questões:

a) $f\left(x \right )=\left(m+10 \right )x^{2}+4x-7$

$a=m+10$


Para que o gráfico tenha concavidade para cima, devemos ter

$a>0\\ \\ m+10>0\\ \\ m>-10$


b) $f\left(x \right )=\left(5m+1 \right )x^{2}-2x+1$

$a=5m+1$


Para que o gráfico tenha concavidade para baixo, devemos ter

$a<0\\ \\ 5m+1<0\\ \\ 5m<-1\\ \\ m<-\dfrac{1}{5}$


c) $f\left(x \right )=\left(2m^{2}-4 \right )x^{2}-4x+3$

$a=2m^{2}-4$


Para que $f\left(x \right)$ seja quadrática, devemos ter

$a\neq 0\\ \\ 2m^{2}-4 \neq 0\\ \\ 2m^{2}\neq 4\\ \\ m^{2} \neq \dfrac{4}{2}\\ \\ m^{2} \neq 2\\ \\ \begin{array}{rcl} m \neq \sqrt{2}&\text{ e }&m \neq -\sqrt{2} \end{array}$