Question

Calcule o valor de m de modo que o polinômio p(x) = 2x³ + 5x² + mx + 12 seja divisível
por f(x) = x + 3.

Answer 1

Olá, bom dia ◉‿◉.

Para resolver essa questão podemos usar o Teorema do resto ou o Teorema de D'ALEMBERT.

Vamos usar o Teorema de D'ALEMBERT.

• Esse teorema fala que P(x) é divisível por x - a se "a" é a raiz de P(x).

É nesse momento que nossa mente buga, mas relaxe que vai dar certo. Note que o binômio (x - a) é justamente a representação do binômio (x + 3) representado por f(x), com isso podemos achar o valor de "a".

$\sf (x - a) \rightarrow (x + 3) \rightarrow (x - \underbrace{ ( - 3)}_{a})$

Tome muito cuidado na hora de fazer essa análise, pois muita gente erra achando que "a" é igual a 3.

Agora vamos interpretar a outra parte do teorema que fala que x - a é divisível por P(x) se "a" é raiz de P(x), isso quer dizer que ao substituirmos o valor de "a" no polinômio P(x) o valor obtido vai ser igual a "0", que é consequentemente o significado de raiz, portanto vamos substituir o valor de "a" no polinômio P(x) e igualar a 0.

$\sf p(x) = 2x {}^{3} + 5x {}^{2} + mx + 12 \\ \sf p(a) = 2.a {}^{3} + 5a {}^{2} + ma + 12 \\ \sf p( - 3) = 2.( - 3) {}^{3} + 5.( - 3) {}^{2} + m. ( - 3) + 12 \\ \sf 0 = 2.( - 27) + 5.(9) - 3m + 12 \\ \sf - 54 + 45 - 3m + 12 = 0 \\ \sf - 9 - 3m + 12= 0 \\ \sf - 3m + 3 = 0 \\ \sf - 3m = - 3 \\ \sf m = \frac{ - 3}{ - 3} \\ \boxed{ \sf m = 1}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️