Question

Calcule o valor de m de maneira que a função f(x) = (3m - 7). x² + 8x + 2 seja quadrática e possua: a) duas raízes reais e diferentes. b) b) duas raízes reais e iguais. c) não possua raízes reais.

Answer 1

para que a função tenha duas raizes reais e diferentes, o delta tem que ser maior do que 0
ou seja:
Δ>0
b² -4×a×c > 0
8² -4×(3m-7)×2 > 0
64 -24m + 56 > 0
-24m > -120         ( multipliquei por - 1 )
m < $\frac{120}{24}$
m < 5 
ou seja, m tem que ser maior do que 5 para ter duas raízes diferentes 

para ter duas raízes iguais o delta tem que ser igual a 0
Δ = 0
b² -4×a×c = 0
8² -4.(3m -7 )×2 = 0
:. ( pular parte porque a equação vai ser igual a inequação em cima )
m = 5 
quando m for igual a 5 você vai ter duas raízes iguais 

e para que não possua raízes o delta tem que ser menos do que zero ( porque não existe raízes negativas no conjunto dos números reais  
Δ < 0
b² -4×a×c < 0 
8² -4×(3m-7)×2 < 0
64 -24m + 56 < 0
-24m < -120 (multiplicando por -1 )
24m > 120
m > 5
então toda vez que m for menos do que 5 o delta sera negativo e então a função não terá raiz