Question

calcule o valor de k,sabendo que a diferença das raízes da função f(x)=2x2-(p-1)x+p+1 e igual a 1

Answer 1

Soma das raízes

-b/a
(p-1)/2

Produto das raizes

c/a
(p+1)/2

Diferença das raizes

x₁-x₂=1
x₁=1+x₂

$\mathsf{ \left \{ {{x_1+x_2= \frac{p-1}{2} } \atop {x_1*x_2= \frac{p+1}{2} }} \right.} \\ \mathsf{ \left \{ {{1+x_2+x_2= \frac{p-1}{2} } \atop {(1+x_2)x_2= \frac{p+1}{2} }} \right. } \\ \mathsf{ \left \{ {{2x_2+1= \frac{p-1}{2} } \atop {x_2+(x_2)^2}= \frac{p+1}{2} } \right. }$

1° Equação

$\mathsf{2x_2= \frac{p-1}{2}-1 }\\ \mathsf{x_2= \frac{ \frac{p-1}{2}-1 }{2}} \\ \mathsf{x_2= \frac{ \frac{p-1-2}{2} }{2}} \\ \mathsf{ x_2= \frac{ \frac{p-3}{2} }{2} } \\ \mathsf{x_2= \frac{p-3}{2}* \frac{1}{2} }\\ \mathsf{x_2= \frac{p-3}{4} }$

Substituindo na 2°

$\mathsf{ \frac{p-3}{4}+( \frac{p-3}{4})^2=} \frac{p+1}{2} \\ \mathsf{ \frac{p-3}{4}+( \frac{p^2-6p+9}{16})= \frac{p+1}{2} } \\ \mathsf{ \frac{4p-12+p^2-6p+9=8p+8}{16} } \\ \mathsf{p^2-10p-11=0} \\ \mathsf{(p-11)(p+1)=0}$

$\mathsf{p-11=0} \\ \mathsf{p=11}$

$\mathsf{p+1=0} \\\mathsf{ p=-1}$