Question

Calcule o valor de k na equação(k-2)x²-3kx+1=0, sabendo que a soma das raízes é igual ao seu produto.​

Answer 1

Para que a soma seja igual ao produto das raízes da equação do

segundo grau dada, temos que o valor de K é igual a $1/3$.

Na equação do segundo grau, as soma das raízes é dada por

$S = -b / a$, e o produto é dado por $P = c / a$.

$a = k - 2\\\\b = -3k\\\\c = 1\\\\Para\ que\ S = P\ tem-se:\\\\-b / a = c / a\\\\-(-3k) / (k - 2) = 1 / (k - 2)\\\\3k / (k - 2) = 1 / (k - 2)\\\\Simplificando-se\ k - 2\ tem-se:\\\\3k = 1\\\\k = 1 / 3$

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Answer 2

O valor de k = 1/3

A equação do segundo grau recebe esse nome porque é uma equação polinomial cujo termo de maior grau está elevado ao quadrado. Também chamada de equação quadrática, é representada por:

ax² + bx + c = 0

Numa equação do 2º grau, o x é a incógnita e representa um valor desconhecido. Já as letras a, b e c são chamadas de coeficientes da equação.

Neste caso, temos:

(k - 2)x² - 3kx + 1 = 0

Onde

a = k - 2

b = -3k

c = 1

Por Bháskara, teremos:

$Delta = b^2 - 4.a.c\\Delta = (-3k)^2 - 4(k - 2).1\\Delta = 9k^2 - 4k + 8$

$x' = (3k + \sqrt{9k^2 - 4k + 8} ) / 2(k - 2)$

$x" = (3k - \sqrt{9k^2 -4k + 8}) / 2(k - 2)$

$x' + x" = (3k + \sqrt{9k^2 - 4k + 8} ) / (2k - 4) + (3k - \sqrt{9k^2 - 4k + 8} ) / (2k - 4)\\x' + x" = 6k / (2k - 4) = 3k / (k - 2)$

$x'.x" = (3k - \sqrt{9k^2 -4k + 8}). (3k - \sqrt{9k^2 -4k + 8}) / 4(k - 2)^2\\x'.x" = (9k^2 - (9k^2 - 4k + 8)) / 4(k - 2)^2\\x'.x"= (4k - 8) / 4(k - 2) ^2\\x'.x" = (k - 2) / (k - 2)^2\\x'.x" = 1 / (k - 2)$

Fazendo a igualdade

$3k = 1\\k = 1/3$

Tirando a prova do resultado:

$( 1/3 - 2) x^2 -3(1/3)x + 1 = 0\\-5x^2/3 - x + 1 = 0\\5x^2 - 3x + 3 = 0\\Delta = 9 + 60 = 69\\x' = (3 + \sqrt{69} ) /-10 = -1,13\\x"= (3 - \sqrt{69} ) /-10 = 0,53\\x'+ x"= -1,13 + 0,53 = -0,6\\x". x"= -1.13(0,53) = -0,6$

Também podemos fazer usando as fórmulas de soma e produto das raízes onde a soma é dada por:
-b / a

Produto
c / a

soma = 3k / (k - 2)
Produto = 1 / (k - 2)
Fazendo a igualdade:
3k = 1

k = 1/3

(bem mais simples, né?)

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