Question

Calcule o valor de k de modo que a função f(x) = 2x2 – 4x – k não tenha raízes, isto é, o gráfico da parábola não possui ponto em comum com o eixo x.

Answer 1

Resposta:

k > 2, ou seja, qualquer valor de k pertencente aos reais maior que 2, satisfaz o pedido no exercício.

Explicação passo a passo:

Para conseguir responder, primeiro precisamos entender como funcionam as raízes de uma equação quadrática.

Caso o determinante seja maior que 0, significa que a função possui duas raízes reais, caso seja igual à 0, possui apenas uma raiz real e caso seja menor que 0, significa que não possui nenhuma raiz real.

Agora que sabemos disto, precisamos saber como se calcula o determinante.

O determinante, representado pelo símbolo grego delta(Δ) pode ser descoberto pela seguinte fórmula Δ = $b^2-4ac$.

Agora basta utilizarmos o que sabemos para responder.

Como queremos descobrir um valor de k na função $f(x)=2x^2-4x-k$ que faça com que a mesma não tenha nenhuma raiz real, precisamos então descobrir um valor de k que faça com que o determinante seja menor que 0, ou seja, Δ < 0.

Observando a função, notamos que:

a = 2, b = 4 e c = k.

Substituindo estes valores na fórmula do determinante, temos que:

Δ = $4^2-4*2*k$, como queremos Δ < 0, então:

$4^2-4*2*k < 0$

$16-8k < 0\\8k > 16\\k > \frac{16}{8}\\k > 2$

{k ∈ R / k > 2}, qualquer valor de k pertencente aos reais maior que 2 satisfaz a inequação, ou seja, para qualquer k pertencente aos reais maior que 2 existe uma função que não possui nenhuma raiz real.