Question

calcule o valor de acordo com a imagem

Answer 1

O valor da expressão é $\dfrac{25}{4}$ ou em decimal 6,25

• Mas, como chegamos nessa resposta?

Bem temos a seguinte expressão

$\dfrac{x^2}{y^2} +\dfrac{y2}{x^2} +2$

e temos que achar o valor numérico dessa expressão sabendo que XY=2 e

x²+y²=5

Bem olhando para a expressão vemos que não temos esse valore então vamos simplificar a expressão para ver se esses valores aparecem

$\dfrac{x^2}{y^2} +\dfrac{y2}{x^2} +2$

Temos uma soma de frações, em soma de frações usamos o M.M.C (mínimo múltiplo comum)  para transforma as frações em uma só

Primeiro vamos achar o M.M.C

$X^2, Y^2, 1|X^2\\1, ~~ ~Y^2,1|Y^2\\1, 1 ,1 |(X^2\cdot Y^2)=\boxed{X^2Y^2}$

Bem agora que sabemos o M.M.C basta somarmos a frações

$\dfrac{x^2}{y^2} +\dfrac{y2}{x^2} +2\Rightarrow \dfrac{\left(\dfrac{x^2}{y^2}\cdot x^2y^2\right)+{\left(\dfrac{y^2}{x^2}\cdot x^2y^2\right)}+(2\cdot x^2y^2)}{x^2y^2}} \Rightarrow \dfrac{(x^2\cdot x^2)+(y^2+y^2)+2x^2y^2}{x^2y^2}$

$\boxed{\dfrac{x^4+y^4+2x^2y^2}{x^2y^2} }$

Então concluímos que  

$\boxed{\dfrac{x^2}{y^2} +\dfrac{y2}{x^2} +2=\dfrac{x^4+y^4+2x^2y^2}{x^2y^2} }$

Bem ficamos com  a seguinte expressão agora

$\dfrac{x^4+y^4+2x^2y^2}{x^2y^2}$

Será que podemos fatorar alguma parte dela ?

• Fatorar significa reescrever a expressão em forma de multiplicações simples

Podemos fatorar : $x^4+y^4+2x^2y^2$, antes disso vou reescrever a expressão de outra forma

$x^4+y^4+2x^2y^2= \boxed{x^4+2x^2y^2+y^4}$, não mudamos nada só deixe mais organizado

Podemos fatorar a expressão pelo método da evidencia

Vamos reescrever  a expressão

$x^4+2x^2y^2+y^4\Rightarrow \boxed{x^4+x^2y^2+x^2y^2+y^4}$

agora que temos 4 termos vamos por em evidencia

$x^4+x^2y^2+x^2y^2+y^4\Rightarrow( x^4+x^2y^2)+(x^2y^2+y^4)\Rightarrow x^2(x^2+y^2)+y^2(x^2+y^2)\Rightarrow (x^2+y^2)\cdot(x^2+y^2)$

Então temos que

$\boxed{x^4+2x^2y^2+y^4\Rightarrow (x^2+y^2)\cdot (x^2+y^2)}$

Bem então podemos substituir na expressão original

$\dfrac{x^4+y^4+2x^2y^2}{x^2y^2}\Rightarrow\boxed{ \dfrac{(x^2+y^2)\cdot (x^2+y^2)}{x^2y^2} }$

Bem antes lembre-se da propriedade da potencia

$A^2B^2= (AB)^2$ ou seja são a mesma coisa, então podemos escrever assim

$\dfrac{(x^2+y^2)\cdot (x^2+y^2)}{x^2y^2} \Rightarrow\boxed{ \dfrac{(x^2+y^2)\cdot (x^2+y^2)}{(xy)^2}}$

Não temos como simplificar e fatorar mais, agora lembre-se do que a questão fala

$xy=2\\\\x^2+y^2=5$

basta substituirmos

$\dfrac{(x^2+y^2)\cdot (x^2+y^2)}{(xy)^2}\\\\\\\dfrac{5\cdot 5}{(2)^2}\\ \\\\\boxed{\dfrac{25}{4} }$